Page 81 - Giao trinh DSTT

2. Dạng toàn phƣơng
Định nghĩa: Cho V là một không gian véc tơ n chiều trên và
là một dạng song tuyến đối xứng trên V. Khi đó ánh xạ:

được gọi là dạng toàn phương trên V ứng với dạng song tuyến tính

Dạng toàn phương xác định
Cho V là một không gian hữu hạn chiều trên và là một dạng toàn
phương trên V. Khi đó được gọi là dạng toàn phương xác định dương nếu
∈ . Tương tự, được gọi là dạng toàn phương xác định âm
nếu ∈ .
Mệnh đề: Nếu Q(u) được gọi là dạng toàn phương xác định dương thì ta có
những điều kiện sau:
i)

ii) , trong đó là ma trận của dạng toàn phương.

Định lý Sylvester: Điều kiện cần và đủ để một dạng toàn phương xác định
dương là tất cả các định thức chính của ma trận của nó đều dương.

Dạng chuẩn tắc
Định nghĩa: Biểu thức của dạng toàn phương trong cơ sở S chỉ chứa các số
hạng bình phương:

Gọi là dạng chính tắc của nó trong cơ sở S.
Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc
được đưa về dạng chính tắc nếu tồn tại một cơ sở của

V sao cho ma trận của dạng toàn phương trong cơ sở này là một ma trận chéo,
tức là:

[ ] [ ]

[ ] ( ,

Phương pháp Lagrange
Trƣờng hợp 1: Tồn tại .

Không mất tính tổng quát, giả sử . Khi đó ta biến đổi

∑

* ( * ( * +

( * ∑

77