Page 38 - TOAN CHUYEN DE

d) Hàm mật độ xác suất (MĐXS)

Định nghĩa 2.16.
Hàm MĐXS của biến ngẫu nhiên liên tục X (ký hiệu f(x)) là đạo hàm bậc nhất
của hàm PPXS.
Nói cách khác, ta có hàm MĐXS của X là f(x) := F’(x).

Tính chất:
1. f(x) > 0 với mọi x.

2. ( < < ) = ∫ ( ) .

3. ( ) = ∫ ( ) , trong đó f(t) là hàm MĐXS của biến ngẫu nhiên liên
−∞
tục X.

+∞
4. ∫ ( ) = 1.
−∞
Nhận xét:

Để hàm f(x) là hàm MĐXS của biến ngẫu y
nhiên liên tục X nào đó ⇔
( ) ≥ 0, ∀
{ +∞ . f(x)
∫ ( ) = 1
−∞ P(a<X<b)
Ý nghĩa của tính chất 2:
Xác suất để biến ngẫu nhiên liên tục X 0 x
nhận giá trị trong khoảng (a,b) bằng diện
tích của miền giới hạn bởi trục Ox, đường y = f(x) và hai đường thẳng x = a, x = b.

Ý nghĩa của hàm MĐXS:
Từ định nghĩa của hàm MĐXS ta suy ra: P(x < X < x + x)  f(x).x
Điều này được hiểu là xác suất để biến ngẫu nhiên X lấy giá trị rong khoảng
khá bé (x; x + x) gần như tỷ lệ với giá trị của hàm f(x) tại điểm x. Vì vậy, cùng với
độ dài x như nhau, tại điểm x nào mà giá trị của hàm f(x) lớn hơn thì ở lân cận của
điểm ấy sẽ tập trung một xác suất lớn hơn. Chính vì vậy mà hàm f(x) có tên gọi là
hàm MĐXS.

Ví dụ 2.29.

0 ế ∉ [ ; ]
Xác định m để hàm số ( ) = { là hàm MĐXS của một
ế ∈ [ ; ]
biến ngẫu nhiên X nào đó?
Giải:

1. Để f(x) > 0, x  m > 0.

2. ∫ +∞ ( ) = 1 ⇔ ∫ = ( − ) = 1 ⇔ = 1 > 0.
−∞ −
0 ế ∉ [ ; ]
Vậy, hàm MĐXS cần tìm có dạng ( ) = { 1 .
ế ∈ [ ; ]
−

Trang 38