Page 40 - TOAN CHUYEN DE

Bản chất và ý nghĩa của kỳ vọng toán
Giả sử đối với biến ngẫu nhiên X, ta tiến hành trên n phép thử và thấy có n i

lần biến X nhận giá trị x i (i = 1, 2,..., k) và có + + ⋯ + = .
2

1
Giá trị trung bình của biến X nhận được trong n phép thử này là:

1
̅ = ∑ = ∑ = ∑ .

=1 =1 =1
Theo định nghĩa thống kê toán, khi n →  thì w i  p i = P(X = x i) vì vậy, với n
đủ lớn ta sẽ có: ̅ ≈ ∑ = ( ).

=1
Vậy, kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên xấp xỉ với trung bình số học các giá
trị quan sát được của biến ngẫu nhiên X, nó phản ánh giá trị trung tâm của PPXS của
biến ngẫu nhiên X.
Ứng dụng thực tế của kỳ vọng toán
Ta đã biết, kỳ vọng toán của một biến ngẫu nhiên là giá trị trung bình của biến
ngẫu nhiên đó. Trong thực tế, kỳ vọng toán được ứng dụng hết sức rộng rãi. Chẳng
hạn, trong sản xuất công nghiệp thì kỳ vọng toán thường là một giá trị quy định, ví
như đường kính quy định, trọng lượng quy định, ... còn thực tế khi sản xuất ra những
sản phẩm có đường kính hay trọng lượng... thường bị sai lệch so với quy định.
Trong sản xuất nông nghiệp, chăn nuôi,... thì kỳ vọng toán thường là một giá
trị về năng suất của cây trồng hay độ đồng đều của vật nuôi, ...

b) Phương sai, độ lệch quân phương
Trong thực tế, nhiều khi nếu chỉ xác định kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên
thì chưa đủ, để xác định một biến ngẫu nhiên ta còn phải xác định mức độ phân tán
các giá trị của biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình của nó. Chẳng hạn, Khi
nghiên cứu biến ngẫu nhiên là năng suất lúa của một vùng nào đó thì năng suất lúa
trung bình (tức kỳ vọng toán) mới chỉ phản ánh được một mặt của biến ngẫu nhiên
này, mức độ biến động về năng suất lúa ở những thửa ruộng khác cũng là vấn đề cần
quan tâm nghiên cứu. Từ đó ta có khái niệm về phương sai như sau.

Định nghĩa 2.18.
Phương sai của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu D(X), được xác định bởi công thức
D(X) = E[X – E(X)] .
2
Phương sai được định nghĩa bằng công thức trên, song trong thực tế người ta
lại thường sử dụng công thức sau để tính:
2
2
D(X) = E(X ) – E (X). (2.3)
Ngoài ra, với X là biến ngẫu nhiên rời rạc,

2
2
2
2
( ) = + + ⋯ + + ⋯ = ∑ . (2.4)
2

1 1

2 2
∀
Với X là biến ngẫu nhiên liên tục,
+∞
2
2
( ) = ∫ ( ) . (2.5)
−∞
Trang 40