Page 39 - TOAN CHUYEN DE

2.4.2. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên

Khi ta xác định được QLPP xác suất của một biến ngẫu nhiên thì ta đã nắm
được toàn bộ thông tin về biến ngẫu nhiên đó. Tuy nhiên trong thực tế rất khó và
cũng không cần thiết phải nắm được toàn bộ những thông tin này, mà chỉ cần quan
tâm đến những thông tin quan trọng nhất phản ánh được những đặc trưng cơ bản của
biến ngẫu nhiên ta đang nghiên cứu. Dưới đây ta sẽ nghiên cứu vài tham số đặc trưng
quan trọng nhất phản ánh từng mặt của một biến ngẫu nhiên.
a) Kỳ vọng toán

Định nghĩa 2.17.
Kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên X là một số được ký hiệu và xác định bởi
công thức sau:
- Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc:

( ) = + + ⋯ + + ⋯ = ∑ . (2.1)
2 2
1 1

∀
- Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục:
+∞
( ) = ∫ ( ), (2.2)

−∞
trong đó f(x) là hàm MĐXS.
Nếu chuỗi hay tích phân suy rộng trên hội tụ thì tồn tại kỳ vọng toán, trái lại
ta nói biến ngẫu nhiên X không có kỳ vọng.

Tính chất:
1. E(C) = 0, với C là biến ngẫu nhiên hằng.

2. E(k.X) = k.E(X), với k là hằng số.
3. Với X, Y là 2 biến ngẫu nhiên bất kỳ, ta có: E(X + Y) = E(X) + E(Y).

4. Với X, Y là 2 biến ngẫu nhiên độc lập, ta có: E(X.Y) = E(X).E(Y).

Hai biến ngẫu nhiên được gọi là độc lập nhau nếu QLPP xác suất của biến
này không phụ thuộc vào biến ngẫu nhiên kia nhận giá trị bằng bao nhiêu.
Tổng của 2 biến ngẫu nhiên X và Y là một biến ngẫu nhiên, ký hiệu là X + Y
mà các giá trị có thể của nó là tổng của mỗi giá trị có thể của biến ngẫu nhiên X với

mỗi giá trị có thể của biến ngẫu nhiên Y.

Ví dụ 2.30.
Tính kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên sau:
1. X ="số nốt trên mặt xúc xắc".
Ta có, E(X) = 1.1/6 +2.1/6 + 3.1/6 + 4.1/6 + 5.1/6 + 6.1/6 = 3,5.
0 ế ∉ [ ; ]
2. X có hàm MĐXS là ( ) = { 1 .
ế ∈ [ ; ]
−
+∞ 1
Ta có, ( ) = ∫ ( ) = ∫ = ( + ).
−∞ − 2

Trang 39