Page 43 - TOAN CHUYEN DE

với k = 0, 1, 2, ..., n.

Định nghĩa 2.20.
Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận 1 trong các giá trị 0, 1, ..., n với các xác suất
tương ứng được tính theo công thức (2.6) gọi là tuân theo QLPP nhị thức với các
tham số n và p, ký hiệu là B(n,p).

Trong thực tế, nhiều khi ta cần tính xác suất để biến ngẫu nhiên tuân theo
QLPP nhị thức, ký hiệu là: X  B(n,p) nhận giá trị trong (x, x + h) với h = 1, 2, ... và
h < n – x. Khi đó ta tính: P(x < X < x + h) = p x + p x+1 +...+ p x+h . Rõ ràng phương
pháp này đòi hỏi phải tính toán quá nhiều và dễ có sai sót, nên người ta chuyển sang
tính gần đúng bởi các công thức sau:
1. Với n khá lớn, xác suất p không quá gần 0 và không quá gần 1 thì ta dùng
công thức sau để tính p x:
2
x x n-x
p x = C n p q  ( ) , trong đó = − và ( ) = 1 − 2 .
√ √ √2
Công thức tính gần đúng này được gọi là công thức địa phương Laplace. Các
giá trị của hàm f(u) được tính sẵn trong bảng 1 với các giá trị của u > 0.
Do f(u) là một hàm chẵn, nên ta có thể dùng bảng này để tính các giá trị hàm
f(u) với u < 0.
2. Với n khá lớn, xác suất p không quá gần 0 và không quá gần 1 thì ta dùng
công thức sau để tính P(x < X < x + h):
P(x < X < x + h)  (u 2) - (u 1),

1 − 2 − −
2
1
trong đó Φ( ) = ∫ 2 , đây là hàm Laplace,với = , = .
1
2
√2 0 √ √
Công thức tính gần đúng này được gọi là công thức tích phân Laplace. Các
giá trị của hàm (u) được tính sẵn trong bảng 2 với u > 0.
Do hàm (u) là một hàm lẻ, nên ta có thể dùng bảng này tính được giá trị hàm
với u < 0.
Tuy nhiên, trong bảng chỉ tính với u < 5. Vì hàm (u) tăng rất chậm và
nhận giá trị rất gần với 0,5 nên ta có thể lấy (u) = 0,5 với mọi u > 5.

Các tham số đặc trưng
E(X) = np; D(X) = npq; ( ) = √ .

Ngoài kỳ vọng toán, phương sai, độ lệch chuẩn, đối với QLPP nhị thức người
ta còn sử dụng thêm một tham số khác nữa, đó là mod(X) là giá trị của biến X ứng
với xác suất lớn nhất trong dãy phân phối. Nó chính là giá trị có khả năng xảy ra
nhiều nhất (còn gọi là tin chắc nhất) trong các giá trị có thể của biến ngẫu nhiên X.
Ta có thể tìm mod(X) từ bảng PPXS hay nếu X  B(n;p) thì ta áp dụng công
thức xác định sau: np – q < mod(X) < np + q.

d) Quy luật phân phối Poisson

Khi tiến hành n phép thử độc lập trên biến ngẫu nhiên X =”số lần xảy ra của
biến cố A” với xác suất p nhỏ (< 0,1) và tích np = a = const thì ta có công thức gần
đúng sau:

Trang 43