Page 47 - TOAN CHUYEN DE

Hệ quả 2.6.
Giả sử X 1, X 2,..., X n, ... là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập từng đôi và có các
phương sai giới nội bởi cùng một số, Giả sử E(X i) = a với mọi i. Khi đó, ta có:

1
lim (| ∑ − | < ) = 1. (2.13)
→+∞
=1
Ý nghĩa:
Giả sử ta cần xác định giá trị thực của một đại lượng vật lý nào đó. Chẳng
hạn: kích thước của một chi tiết, hay các tham số kỹ thuật của một thiết bị,... Để làm
việc này, ta cần làm một loạt các phép đo độc lập nhau trong những điều kiện giống
hệt nhau, ở mỗi phép đo đều có một sai số ngẫu nhiên nào đó (tức độ chính xác của
các dụng cụ đo, cảm nhận bằng giác quan của người thưc hiện phép đo,...Vì thế kết
quả của mỗi lần đo là một biến ngẫu nhiên X i (giá trị của lần đo thứ i) nào đó với giả
thiết các phép đo không có sai số thống kê. Khi đó các biến ngẫu nhiên X i sẽ có cùng
kỳ vọng toán là giá trị thực của đại lượng cần đo (tức là ta có E(X i) = a, i).
Ngoài ra, giả sử rằng các phép đo đều được thực hiện với độ chính xác nhất
định nào đó (tức là có D(X i) < C, i). Như thế các biến ngẫu nhiên X i thỏa mãn điều
kiện của định lý Chebyshev, nên nếu có số các phép thử n đủ lớn thì hầu như chắc
chắn ta có thể xấp xỉ giá trị thực của đại lượng cần đo a bởi chính giá trị trung bình

cộng các kết quả đo được với độ chính xác có thể nhỏ bao nhiêu tùy ý (còn nhỏ hơn
cả một số  > 0 bé tùy ý cho trước) bằng cách tăng số các phép đo n lên.

b) Tính ổn định của kỳ vọng toán và phương sai mẫu
Để xác định một hằng số vật lý a, một đại lượng ta cần phải đo nào đó, ta thực
hiện n phép đo độc lập nhau. Giả sử x i là kết quả của lần đo thứ i thì ta có tập các kết
quả đo được là {x 1, x 2, ..., x n} và gọi đây là mẫu thống kê.
1
1
Khi đó, ta sẽ có: ∑ ≈ và gọi giá trị ∑ là trung bình mẫu.

=1 =1
Giả sử rằng các phép đo có cùng độ chính xác nên phương sai của các biến
2
ngẫu nhiên đó cũng là như nhau, nói cách khác là có D(X) =  , i.
2
1
2
2
2
Ta ký hiệu = 1 ∑ ( − ∑ ) và tính được ( ) = ,

−1 =1 =1
2
2
( ) = 2 .
−1
2
2
Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev cho kết quả lim (| − | < ) = 1.
→+∞
̅
2
2
Xét giá trị thực nghiệm = 1 ∑ ( − ) và đây chính là một trong các
−1 =1
giá trị có thể nhận của biến ngẫu nhiên S . Vì vậy, với n đủ lớn và với độ chính xác
2
2
̅
2
thực nghiệm (tức là có xác suất rất gần 1) ta có thể khẳng định được rằng ≈ .
̅
̅
2
Giá trị được gọi là phương sai mẫu, còn giá trị gọi là độ lệch chuẩn của
mẫu hay độ lệch quân phương của mẫu.
Trong thực tế, người ta thường quan tâm đến xác suất P(x -  < a < x + ) là
xác suất để nhận được giá trị thực của hằng số vật lý cần đo a nằm trong khoảng (x
- ; x + ). Vấn đề đặt ra ở đây là ta phải tìm giá trị của tham số  sao cho xác suất
Trang 47