Page 46 - TOAN CHUYEN DE

3.5.2. Bất đẳng thức Chebyshev

Định lý 2.11.
 > 0 bé tuỳ ý, luôn có bất đẳng thức sau (gọi là bất đẳng thức Chebyshev):

P(|X - E(X)| > ) < ( ) . (2.10)
2

Ý nghĩa:
Bất đẳng thức Chebyshev đánh giá độ lệch giữa gía trị mà một biến ngẫu nhiên có
thể nhận với kỳ vọng toán của nó.

Hệ quả 2.5.

Bất đẳng thức Chebyshev tương đương với bất đẳng thức sau:
P(|X – E(X)| < ) > 1 - ( ) .
2
Ý nghĩa:
Nếu D(X) là rất nhỏ thì hầu như chắc chắn (tức với xác suất rất gần 1) độ lệch giữa
giá trị mà một biến ngẫu nhiên X có thể nhận với kỳ vọng toán của nó là không đáng kể
(tức có thể nhỏ hơn cả một số  > 0 bé tuỳ ý cho trước).

2.5.3. Định lý Bernoully và tính ổ định của tần suất tương đối
Định lý Bernoully cho một kết luận rất có giá trị trong lý thuyết xác suất, đó

là: Với xác suất rất gần 1 một cách tuỳ ý, ta có thể làm cho độ lệch giữa tần suất xuất
hiện của một biến cố với xác suất của nó nhỏ bao nhiêu cũng được, bằng cách ta
tăng số lần thực hiện phép thử lên tới một giá trị đủ lớn (tức tiến ra vô cùng). Cụ thể
ta có định lý như sau:

Định lý 2.12. (Định lý Bernoully)

 > 0 bé tuỳ ý, ta luôn có:

lim (| − ( )| < ) = 1. (2.11)
→+∞
Trong đó m là tần số xuất hiện của biến cố A trong n phép thử lặp, độc lập còn
P(A) là xác suất của biến cố A.

Khi đó ta nói rằng tần suất hội tụ theo xác suất đến P(A) và được ký hiệu

là: ⟶ ( ) (theo nghĩa xác suất) khi n → .

2.5.4. Định lý Chebyshev và tính ổn định của kỳ vọng toán, phương sai mẫu
a) Luật số lớn của Chebyshev

Định lý 2.13. (Định lý Chebyshev)
Giả sử X 1, X 2, ..., X n, ... là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập từng đôi và có các
phương sai giới nội bởi cùng một số. Khi đó, ta có:

1 1
lim (| ∑ − ∑ ( )| < ) = 1. (2.12)

→+∞
=1 =1

Trang 46