Page 56 - TOAN CHUYEN DE

3.2. Ước lượng tham số

3.2.1. Thống kê
a) Định nghĩa 3.3.

Trong thống kê toán, việc tổng hợp mẫu W X =(X 1, ..., X n) được thực hiện dưới
dạng hàm của các biến ngẫu nhiên X 1, X 2, ..., X n. Ký hiệu là: G = f(X 1, X 2, ..., X n).
Biến ngẫu nhiên G được gọi là 1 thống kê.

b) Một số đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên
- Trung bình mẫu của mẫu ngẫu nhiên

Định nghĩa 3.4.
Cho mẫu ngẫu nhiên có kích thước n, được xây dựng từ biến ngẫu nhiên X:
̅
W X = (X 1, X 2, ..., X n) trung bình của mẫu ngẫu nhiên là 1 thống kê, ký hiệu là: được
xác định bởi hàm sau:

1
̅
= ∑ . (3.5)

=1
̅
Do X 1, X 2, ..., X n là các biến ngẫu nhiên, nên cũng là biến ngẫu nhiên.
Nếu mẫu ngẫu nhiên W X = (X 1, X 2, ..., X n) có 1 giá trị là w x =(x 1, x 2, ..., x n) thì
1
̅
̅
sẽ nhận giá trị ̅ = ∑ , (3.5). Như vậy, ̅ là 1 giá trị của , đồng thời là trung

=1
bình của mẫu cụ thể W x.
Tính chất:
̅
2
Nếu biến ngẫu nhiên gốc X có kỳ vọng toán E(X) =m, D(X) = thì ( ) =
̅
, ( ) = 2 .

̅
Như vậy, bất kể QLPP của biến ngẫu nhiên gốc như thế nào, thống kê cũng
̅
có kỳ vọng toán bằng kỳ vọng của biến ngẫu nhiên gốc (E(X) = E( )), còn phương
̅
̅
sai của nhỏ hơn phương sai của ĐLNN gốc n lần ( ) = ( ) . Nghĩa là các giá

̅
trị có thể có của ổn định quanh kỳ vọng hơn các giá trị có thể có của X.
̅
Qui luật phân phối của
QLPPXS của trung bình mẫu phụ thuộc vào QLPPXS của biến ngẫu nhiên
̅
gốc. Người ta đã chứng minh được rằng: nếu X có phân phối chuẩn ( , ) thì
2
2
sẽ phân phối theo qui luật chuẩn ( , ).

- Phương sai của mẫu ngẫu nhiên

Định nghĩa 3.5.
2
Cho mẫu ngẫu nhiên W X . Phương sai của nó là 1 thống kê, ký hiệu là: S ,
được xác định bởi:

1
̅
2
2
= ∑( − ) , (3.6)

− 1
=1
̅
trong đó là trung bình của mẫu ngẫu nhiên.

Trang 56