Page 61 - TOAN CHUYEN DE

dùng G để ước lượng thì không mắc phải sai số hệ thống. Rõ ràng trong 2 ước

lượng chệch và không chệch thì ta chọn ước lượng không chệch.
Chú ý:
G là ước lượng không chệch của không có nghĩa là mọi giá trị của G đều trùng ,
mà chỉ có nghĩa là trung bình các giá trị của G bằng , với 1 giá trị của G có thể sai khác
nhiều so với .

Ví dụ 3.6.
̅
̅
Nếu X có E(X) = m thì ( ) = , suy ra là ước lượng không chệch của m.
2
2
2
2
2
Nếu X có D(X) = thì E(S ) = , suy ra S là ước lượng không chệch của .
Tần suất mẫu là ước lượng không chệch của P(A) nếu X có phân phối
Bernoulli và việc lấy mẫu có hoàn lại.
- Phương pháp ước lượng hợp lý cực đại để tìm ước lượng điểm
Mô tả phương pháp: Giả sử đã biết QLPPXS dạng tổng quát của biến ngẫu
nhiên X; chẳng hạn, hàm mật độ f(x, ) (cũng có thể xem f (x, ) là công thức xác
suất nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc). Cần ước lượng tham số .
Lập mẫu cụ thể w x = (x 1, x 2, ..., x n). Hàm của đối số :
L(x 1, x 2, ..., x n) = f(x 1, ).f(x 2, )...f(x n, ) gọi là hàm hợp lý của tham số . Giá
trị của hàm hợp lý chính là xác suất (hay MĐXS) tại điểm w x = (x 1, x 2, ..., x n). Giá trị
g = f(x 1, x 2, ..., x n) ước lượng hợp lý cực đại nếu ứng với giá trị này của hàm hợp
lý đạt cực đại. Vì hàm L và hàm lnL đạt cực đại cùng 1 giá trị của . Do vậy, có thể
tìm giá trị của  để hàm lnL đạt cực đại với các bước sau:
- Tìm (lnL)’ theo .

- Lập phương trình Laplace = 0. Phương trình này được gọi là phương

trình hợp lý. Giả sử phương trình có nghiệm là = ( , , … , ).

2
1
2
2
- Tìm . Nếu tại điểm = mà < 0 thì tại điểm này hàm lnL đạt
2 2
cực đại. Do đó, g = g(x 1, x 2, …, x n) là ước lượng hợp lý cực đại .
b) Ước lượng khoảng
Định nghĩa 3.6.
Một khoảng với 2 đầu mút ngẫu nhiên (G 1 = f 1(X 1, X 2, …, X n), G 2 = f 2(X 1, X 2,
…, X n)) được gọi là ước lượng khoảng (hoặc khoảng tin cậy) cho tham số với độ
tin cậy = 1 − , tức: ( < < ) ≥ 1 − .
2
1
Nói cách khác, (G 1, G 2) không chứa giá trị đúng của tham số chỉ với xác
suất ≤ (G 2 - G 1 được gọi là độ chính xác của ước lượng khoảng).
Rõ ràng là, cùng với độ tin cậy thì khoảng tin cậy càng hẹp càng tốt.

- Khoảng ước lượng của kỳ vọng toán trong phân phối chuẩn
Giả sử trung bình của tổng thể (cũng là kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên gốc
X) là m (E(X) = m) chưa biết, ta cần ước lượng m với độ tin cậy = 1 − cho trước.
Lập mẫu ngẫu nhiên W X = (X 1, X 2, …, X n) và xét các trường hợp sau sau:

Trang 61