Page 60 - TOAN CHUYEN DE

Hãy tính mod, med, các đặc trưng mẫu về chiều cao của học viên?

3.2.2. Ước lượng tham số
Như chúng ta đã biết, các số của đặc trưng dấu hiệu X* như trung bình, phương
sai, ... được sử dụng rất nhiều trong phân tích các bài toán kinh tế, xã hội và các lĩnh
vực khác. Nhưng các số đặc trưng này thường là chưa biết. Vì vậy, vấn đề đặt ra là:
cần ước lượng chúng bằng phương pháp mẫu dưới dạng bài toán sau: Cho biến ngẫu
nhiên X có thể đã biết hoặc chưa biết QLPPXS và chưa biết tham số nào đó của
nó. Hãy ước lượng tham số bằng phương pháp mẫu? Đây là 1 dạng bài toán cơ
bản của môn toán thống kê.
Vì là 1 hằng số nên ta có thể dùng 1 số nào đó để ước lượng . Ước lượng
như vậy được gọi là ước lượng điểm (nếu đưa con số dùng để ước lượng lên trục
số thì nó ứng với 1 điểm). Ngoài ước lượng điểm người ta còn dùng phương pháp
ước lượng khoảng, tức là chỉ ra 1 khoảng số (g 1, g 2) nào đó có thể chứa được . Dưới
đây, ta nghiên cứu các phương pháp tìm ra 1 số hay 1 khoảng số để ước lượng .

Các phương pháp này xuất phát từ cơ sở hợp lý nào đó để tìm ước lượng của chứ
không phải là 1 sự chứng minh chặt chẽ.
a) Ước lượng điểm

- Phương pháp hàm ước lượng

Giả sử cần ước lượng tham số của biến ngẫu nhiên X. Từ X lập mẫu ngẫu
nhiên kích thước n: W X = (X 1, X 2, …, X n). Chọn thống kê G = f(X 1, X 2, …, X n) được
gọi là hàm (X 1, X 2, …, X n) của . Trong thực tế, người ta thường chọn hàm (X 1, X 2,
…, X n) như sau:
1
̅
+ Chọn = = ∑ nếu f(X 1, X 2, …, X n) là kỳ vọng toán.

=1
̅
+ Chọn = = 1 ∑ ( − ) nếu f(X 1, X 2, …, X n) là phương sai.
2
2
−1 =1
1
+ Chọn = = ∑ nếu là ước lượng tỷ lệ các phần tử có tính chất

=1

A (trong đó, X i là số phần tử có tính chất A trong lần lấy phần tử thứ i vào mẫu).
Từ mẫu cụ thể w x = (x 1, x 2, …, x n) ta tính giá trị của G, ký hiệu là: g, tức là g =
f(x 1, x 2, …, x n). Ước lượng điểm của chính là giá trị g vừa tìm được.
- Ước lượng không chệch
Ta thấy có vô số cách chọn hàm f, tức có vô số thống kê G có thể dùng làm
ước lượng của . Vì vậy, cần đưa ra 1 tiêu chuẩn để đánh giá chất lượng của ước
lượng. Từ đó lựa chọn được thống kê G “tốt hơn” theo 1 nghĩa nào đó.
Định nghĩa 3.5.

Thống kê G được gọi là ước lượng không chệch của tham số nếu E(G)= .
Ngược lại, nếu E(G) thì G được gọi là ước lượng chệch của .
Ý nghĩa:

Vì G, là biến ngẫu nhiên biểu thị sai số của ước lượng nên E(G- ) = -
= 0 nếu G là ước lượng không chệch. Như vậy, ước lượng không chệch là ước
lượng có sai số trung bình bằng 0, tức giá trị của G không bị lệch về 1 phía, nếu

Trang 60