Page 23 - XSTK6

1.4.3. Công thùc Bernoulli

Trong thüc t¸ nhi·u khi ta g°p nhúng phép thû gçm mët dãy liên ti¸p các
phép thû như nhau đưñc l°p đi l°p l¤i n l¦n và đº ý đ¸n sü xu§t hi»n cõa mët sü
ki»n A nào đó trong n l¦n thû này. Ch¯ng h¤n b­n 10 viên đ¤n đëc lªp vào mët
möc tiêu, méi l¦n b­n 1 viên đưñc xem như ti¸n hành mët phép thû, 10 l¦n b­n
đëc lªp là 10 phép thû đëc lªp.
Đành nghĩa 1.11. Ti¸n hành mët dãy n phép thû mà phép thû sau đëc
lªp vîi các phép thû trưîc đó. Trong méi phép thû ch¿ có 2 k¸t qu£: ho°c x£y ra
sü ki»n A ho°c không x£y ra, xác su§t x£y ra sü ki»n A ð méi phép thû là như

nhau và b¬ng p (p 6= 0, p 6= 1). Dãy n phép thû đëc lªp này còn đưñc gåi là mët
lưñc đç Bernoulli.
Trong mët lưñc đç Bernoulli sü ki»n A có thº xu§t hi»n tø 0 đ¸n n l¦n. Gåi
B là sü ki»n “A xu§t hi»n đúng k l¦n”, ta th§y B có thº x£y ra theo nhi·u phương
án khác nhau, mi¹n sao trong dãy các k¸t qu£ cõa n phép thû sü ki»n A có m°t
đúng k l¦n. Rõ ràng, méi k¸t qu£ thäa mãn sü ki»n B tương ùng vîi vi»c chån ra
k
k phép thû (A xu§t hi»n) tø n phép thû đã cho, hay có t§t c£ C phương án như
n
vªy. Do trong dãy n phép thû đëc lªp, sü ki»n A xu§t hi»n đúng k l¦n, A xu§t hi»n
k
n − k l¦n, nên xác su§t đº x£y ra mët phương án s³ b¬ng p (1 − p) n−k . Tø đó ta có
công thùc Bernoulli

k
k
P(B) = P n (k; p) = C .p .(1 − p) n−k , k = 0, 1, · · · , n. (1.16)
n
Ví dö 1.28. Mët máy thông tin có 5 chi ti¸t đèi vîi đë tin cªy (xác su§t
làm vi»c tèt trong mët kho£ng thíi gian nào đó) cõa méi chi ti¸t là 0,9. Tìm xác
su§t đº trong kho£ng thíi gian §y có đúng 2 chi ti¸t làm vi»c tèt.

Líi gi£i. Rõ ràng ta có lưñc đç Bernoulli vîi n = 5; p = 0, 9 và k = 2, áp
döng (1.16) ta có xác su§t c¦n tìm là

2
2
3
P 5 (2; 0, 9) = C .(0, 9) .(0, 1) = 81.10 −4 .
5
Ví dö 1.29. Mët håc viên có xác su§t b­n trúng möc tiêu là 0,8. Có ý ki¸n
cho r¬ng håc viên đó cù 10 l¦n b­n thì ch­c ch­n có 8 l¦n trúng möc tiêu, đi·u
đó có đúng không?

Líi gi£i. Ý ki¸n trên là sai. Ð đây có thº coi vi»c thüc hi»n 10 l¦n b­n là

dãy 10 phép thû, trong đó A là sü ki»n b­n trúng möc tiêu có P(A) = 0, 8. Tø đó
xác su§t đº trong 10 l¦n b­n có đúng 8 l¦n trúng möc tiêu là

8
8
2
P 10 (8; 0, 8) = C .(0, 8) .(0, 2) ≈ 0, 3108.
10
Đành lý 1.2. Thüc hi»n mët dãy n phép thû Bernoulli vîi xác su§t thành
công trong méi l¦n thû là p. Ta có các k¸t qu£ sau
(n − k + 1)p
(i) P n (k; p) = · P n (k − 1; p).
kp
(ii) P max = P n (m; p) vîi (n + 1)p − 1 ≤ m ≤ (n + 1)p, m ∈ Z + đưñc gåi là giá
trà có kh£ năng x£y ra lîn nh§t.

20