Page 33 - XSTK6

Đành nghĩa 2.1. Hàm phân phèi xác su§t cõa BNN X, kí hi»u là F(x),
đưñc xác đành như sau

F(x) = P(X < x), x ∈ R. (2.1)
Tø đành nghĩa trên, F(x) ph£n ánh đë tªp trung xác su§t ð bên trái cõa sè
thüc x. Trong trưíng hñp BNN ríi r¤c, (2.1) cho ta mët hàm còn đưñc gåi là hàm

phân phèi tích lũy (hay xác su§t tích lũy), tùc là
F(x) = P(X = x 1 ) + · · · + P(X = x i−1 ), vîi x i−1 < x ≤ x i . (2.2)

Ví dö 2.6. Gi£ sû BNN X có b£ng phân phèi xác su§t như sau

X 1 2 3
p(x) 0,5 0,2 0,3

Tø b£ng phân phèi trên và (2.2), ta có hàm phân phèi


0 n¸u x ≤ 1,



0, 5 n¸u 1 < x ≤ 2,

F(x) =
0, 7 n¸u 2 < x ≤ 3,



1 n¸u x > 3.

Đº ý là sè giá trà cõa X b¬ng sè điºm gián
đo¤n lo¤i 1 cõa F(x) (đç thà d¤ng bªc thang).
Hàm phân phèi xác su§t có vai trò quan
trång khi nghiên cùu các BNN liên töc. N¸u ta
bi¸t đưñc hàm phân phèi xác su§t thì ta s³ xác
đành hoàn toàn BNN. Tuy nhiên trong thüc t¸,
vi»c tìm đưñc F(x) là r§t khó, n¸u không nói là

h¦u như không thº làm đưñc.
Mët sè tính ch§t cõa hàm phân phèi F(x):
(i) 0 ≤ F(x) ≤ 1;
(ii) F(x) là mët hàm không gi£m, tùc là n¸u x 1 < x 2 thì F(x 1 ) ≤ F(x 2 );
(iii) P(a ≤ X ≤ b) = F(b) − F(a);
(iv) lim F(x) = 0 và lim F(x) = 1.
x→−∞ x→+∞
Ví dö 2.7. Cho hàm phân phèi xác su§t cõa mët BNN liên töc X có d¤ng:


0, x ≤ 2,


2
F(x) = k(x − 2) , 2 < x ≤ 4,


1, x > 4.

Xác đành h¬ng sè k và tính P(2 ≤ X < 3).
2
Líi gi£i. Vì F(x) liên töc nên t¤i x = 4 ta có k(4 − 2) = 1, tø đó k = 1/4.
Hơn núa tø tính ch§t (iii) và (iv) ta đưñc
1 1
2
P(2 ≤ X < 3) = F(3) − F(2) = (3 − 2) − 0 = .
4 4

30