Page 37 - XSTK6

Gåi M là trång lưñng trung bình cõa các qu£ c¦u trong bình, ta có

5.1 + 2.2 + 3.3 18
M = = = 1, 8.
10 10

Vªy E(X) = M.
Tính ch§t:
(i) E(C) = C vîi C là h¬ng sè;
(ii) E(C.X) = C.E(X);
(iii) E(X + Y ) = E(X) + E(Y );
(iv) N¸u X, Y đëc lªp thì E(X.Y ) = E(X).E(Y );
+∞
P R
(v) N¸u Y = ϕ(X) thì E(Y ) = ϕ(x i )p(x i ) ho°c E(Y ) = ϕ(x)f(x)dx, trong
i −∞
đó p(x) và f(x) là các hàm xác su§t và mªt đë xác su§t tương ùng.

b) Ý nghĩa cõa kì vång
Ti¸n hành n phép thû. Gi£ sû X là BNN nhªn các giá trà có thº x 1 , x 2 , · · · , x N
vîi sè l¦n xu§t hi»n tương ùng k 1 , k 2 , · · · , k . Giá trà trung bình (trung bình cëng)
N
cõa BNN X trong n phép thû là

N
x 1 k 1 + x 2 k 2 + · · · + x k k 1 k N X
N N
X = = x 1 + · · · + x N = x i f i
n n n
i=1
k i
vîi f i = là t¦n su§t đº X nhªn giá trà x i.
n
Sû döng đành nghĩa xác su§t theo lèi thèng kê ta có lim f i = p i. Vì vªy vîi
n→∞
n đõ lîn ta có
N
X
X = x i p i = E(X).
i=1
Như vªy, kì vång chính là têng có trång sè cõa t§t c£ các giá trà cõa X, hay
còn là trà trung bình (trung bình có trång sè) cõa BNN (phân bi»t vîi trung bình
cëng cõa các giá trà). Trong thüc t¸, n¸u quan sát các giá trà cõa X nhi·u l¦n và
l§y trung bình cëng (trung bình sè håc), thì khi sè quan sát càng lîn, sè trung
bình đó càng g¦n tîi kì vång E(X), vì vªy kì vång còn đưñc gåi là trung bình sè
håc cõa bi¸n X mà không sñ nh¦m l¨n.

Ví dö 2.11. Mët ngưíi dùng 10 000 đçng đº mua 1 con sè n¬m trong dãy
sè tø 00 đ¸n 99. Ngưíi mua s³ th­ng 700 000 đçng n¸u sè mua trùng vîi 2 sè
cuèi cõa gi£i đ°c bi»t do Nhà nưîc phát hành trong ngày hôm đó. Hãy tìm sè

ti·n th­ng trung bình cõa mët l¦n chơi như vªy.
Líi gi£i. Gåi X là sè ti·n th­ng cõa mët l¦n chơi, rõ ràng X nhªn các giá
trà 0 và 700 000 vîi các t¦n su§t (và coi luôn là xác su§t) tương ùng là 99/100 và
1/100. Tø đó sè ti·n th­ng trung bình trong méi l¦n chơi chính là kì vång

E(X) = 0.0, 99 + 700 000.0, 01 = 7 000 đçng.

M°c dù E(X) > 0, nhưng anh ta đã bä ra 10 000 đçng đº mua 1 con sè. Như
vªy trong thüc t¸ méi l¦n chơi anh ta m§t trung bình 3 000 đçng.

34