Page 42 - XSTK6

2.2.4. B§t đ¯ng thùc Markov và b§t đ¯ng thùc Chebyschev

Nhúng b§t đ¯ng thùc tương đèi đơn gi£n sau đây cõa Markov và Chebyschev
s³ có ích trong vi»c đánh giá phân phèi xác su§t cõa các BNN.
Đành lý 2.1. (B§t đ¯ng thùc Markov) Vîi måi BNN X ch¿ nhªn các giá trà
không âm, sè dương ε và sè tü nhiên k, ta có

k
E(X) E(|X| )
P(X ≥ ε) ≤ và P(|X| ≥ ε) ≤ .
ε ε k
Đành lý 2.2. (B§t đ¯ng thùc Chebyschev) N¸u X là mët BNN có phương
sai D(X) húu h¤n và ε > 0 b§t kì, ta có

D(X)
P(|X − E(X)| ≥ ε) < ,
ε 2
hay tương đương
D(X)
P(|X − E(X)| < ε) ≥ 1 − .
ε 2
B§t đ¯ng thùc Markov và Chebyschev xác đành giîi h¤n xác su§t khi bi¸t kì
vång và phương sai cõa BNN khi chưa bi¸t phân phèi xác su§t.

Ví dö 2.18. Gi£ sû sè ph¸ ph©m cõa mët nhà máy làm ra trong mët tu¦n
là BNN X vîi kì vång E(X) = 50.
a) Có thº nói gì v· xác su§t s£n ph©m häng tu¦n này vưñt quá 75.
2
b) N¸u phương sai cõa ph¸ ph©m trong tu¦n này là σ = 25 thì có thº nói
gì v· xác su§t ph¸ ph©m tu¦n này s³ ð giúa 40 và 60.
Líi gi£i.
E(X) 50 2
a) Theo b§t đ¯ng thùc Markov thì P(X > 75) ≤ = = .
75 75 3
b) Theo b§t đ¯ng thùc Chebyschev
25 3
P(|X − 50| < 10) ≥ 1 − = .
10 2 4
3
Do đó P(40 < X < 60) = .
4
Ta có k¸t qu£ quan trång sau.

Đành lý 2.3. (Luªt sè lîn Chebyschev) Gi£ sû dãy các BNN
X 1 , X 2 , · · · , X n , · · · đëc lªp có các kì vång húu h¤n và phương sai đ·u bà ch°n
trên bði h¬ng sè C (tùc là D(X i ) ≤ C, ∀i). Khi đó vîi måi ε > 0 thì
!
n n
1 X 1 X

lim P X i − E(X i ) < ε = 1. (2.7)
n→∞ n n
i=1 i=1
Luªt sè lîn Chebyschev chùng tä r¬ng khi n đõ lîn thì trung bình cëng cõa
các BNN s³ có giá trà l»ch r§t ít so vîi trung bình cëng cõa các kì vång. Mët h»
qu£ quan trång cõa Đành lí 2.3 là n¸u đưa thêm các gi£ thi¸t các X i , ∀i có cùng kì

vång (tùc là E(X i ) = µ, ∀i) thì (2.7) s³ trð thành
!
n
1 X

lim P X i − µ < ε = 1, ∀ε > 0.

n→∞ n
i=1
39