Page 38 - XSTK6

Ví dö 2.12. Mët gia đình chi tiêu trong mët tháng ð 2 mùc: 10 tri»u ho°c
8 tri»u đçng, trong đó có 11 tháng ð mùc 10 tri»u, ch¿ có 1 tháng ð mùc 8 tri»u.

Häi trung bình méi tháng gia đình này tiêu h¸t bao nhiêu ti·n? Như vªy có 2
mùc chi tiêu nên trung bình sè håc (trung bình cëng) s³ là (10 + 8)/2 = 9 tri»u
11 1
đçng. Nhưng trung bình có trång sè (kì vång) s³ là 10. +8. ≈ 9, 83 tri»u đçng.
12 12
Rõ ràng kì vång ph£n ánh chính xác hơn, hñp lí hơn trung bình sè håc.

c) Giá trà kì vång hình håc

Giá trà kì vång ùng vîi trung bình cëng, còn giá trà kì vång hình håc ùng vîi
trung bình nhân. Mët ví dö đơn gi£n sau đây cho th§y sü quan trång cõa trung
bình nhân trong thüc t¸.

Ví dö 2.13. (xem [1]) Gi£ sû giá nhà dao đëng trong 4 năm như sau. Năm
đ¦u tiên gi£m 15%, năm thù hai tăng 35%, năm thù ba gi£m 20%, năm thù tư
tăng 20%. Häi xem trong 4 năm đó giá nhà tăng lên (gi£m đi) trung bình méi
năm bao nhiêu %?

N¸u ta l§y trung bình cëng thì đưñc (−15% + 35% − 20% + 20%)/4 = 5% mët
năm. Nhưng con sè đó có ph£n ánh chính xác sü đi lên cõa giá nhà trong 4 năm?
N¸u gåi giá lúc đ¦u là X, thì sau năm đ¦u giá là (1 − 15%)X, sau năm thù
hai giá là (1+35%)(1−15%)X, sau năm thù ba giá là (1−20%)(1+35%)(1−15%)X,
sau 4 năm giá là (1 + 20%)(1 − 20%)(1 + 35%)(1 − 15%)X = 1, 1016.X. Tùc là sau 4
năm giá nhà ch¿ tăng lên 10,16%, chù không ph£i 20%. Đº có cái nhìn chính xác
v· đë tăng trưðng trung bình hàng năm trong giai đo¤n 4 năm, c¦n tính như sau

1/4
(1 + 0, 2)(1 − 0, 2)(1 + 0, 35)(1 − 0, 15) − 1 ≈ 0, 02449,

tùc là giá nhà tăng 2,449% mët năm.

Trung bình nhân có thº đưñc đành nghĩa qua trung bình cëng

!
1/n
Y 1 X
x i = exp ln x i . (2.4)
n
i i
M°t khác hàm f(x) = ln x là hàm lõm trên nûa đưíng th¯ng dương (đ¤o hàm
2
bªc hai cõa nó b¬ng −1/x là mët hàm âm), do đó
!
1 X 1 X
ln x i ≤ ln x i .
n n
i i

L§y exp hai v¸ cõa b§t đ¯ng trên ta đưñc

1/n
Y 1 X
≤ x i , (2.5)
x i
n
i i
d§u “=” x£y ra khi và ch¿ khi t§t c£ các sè x i b¬ng nhau.
Tø (2.4) gñi ý cho ta đành nghĩa giá trà kì vång hình håc cõa X sau đây.

35