Page 36 - XSTK6

2.2.1. Kì vång cõa bi¸n ng¨u nhiên

a) Đành nghĩa
Đành nghĩa 2.3. Kì vång cõa BNN X, kí hi»u là E(X), xác đành như sau:
- N¸u X là BNN ríi r¤c có hàm xác su§t p(x i ) = p i , i = 1, 2, · · · , n thì

n
X
E(X) = x i p i ;
i=1
- N¸u X là BNN ríi r¤c nhªn vô h¤n đ¸m đưñc các giá trà x i vîi hàm xác
∞ ∞
P P
su§t tương ùng p(x i ) = p i và n¸u |x i |p i hëi tö thì E(X) = x i p i;
i=1 i=1
+∞
R
- N¸u X là BNN liên töc có hàm mªt đë xác su§t f(x), x ∈ R và |x|f(x)dx
−∞
+∞
R
hëi tö thì E(X) = xf(x)dx.
−∞
Nhªn xét:
(i) Các BNN ríi r¤c nhªn mët sè húu h¤n các giá trà luôn có kì vång.
(ii) Các BNN ríi r¤c nhªn mët sè vô h¤n đ¸m đưñc ho°c không đ¸m đưñc
các giá trà có thº không có giá trà kì vång.
(iii) Kì vång cõa BNN X là giá trà đ°c trưng cho và trí (trung tâm) cõa

BNN, tùc là các giá trà cö thº cõa X s³ tªp trung quanh kì vång.

Đành nghĩa 2.4. BNN X đưñc gåi là quy tâm n¸u E(X) = 0. Đèi vîi BNN
X b§t kì, BNN Y = X −E(X) là quy tâm và đưñc gåi là BNN quy tâm hóa cõa X.

1
Ví dö 2.9. Hàm mªt đë xác su§t cõa BNN X là f(x) = . Tính
2
π(1 + x )
E(X)?
Líi gi£i. Vì X là BNN liên töc nên kì vång cõa X là
+∞ +∞
Z Z
x
|x|f(x)dx = 2 dx.
−∞ −∞ π(1 + x )
Rõ ràng tích phân trên phân kì nên X không có kì vång.

Ví dö 2.10. Gi£ sû mët cái bình đüng 10 qu£ c¦u gièng nhau nhưng khác
nhau v· trång lưñng: 5 qu£ n°ng 1 kg, 2 qu£ n°ng 2 kg, 3 qu£ n°ng 3 kg. L§y

ng¨u nhiên tø bình ra 1 qu£ c¦u và gåi X là trång lưñng cõa qu£ c¦u đó. Tính
E(X) và so sánh E(X) vîi trång lưñng trung bình cõa 1 qu£ c¦u trong hëp.
Líi gi£i. X là trång lưñng cõa qu£ c¦u đưñc l§y ra. Khi đó ta có b£ng phân
phèi xác su§t cõa X:

X 1 2 3

p(x) 5/10 2/10 3/10

3
P 5 2 3 18
Kì vång E(X) = x i p i = 1. + 2. + 3. = = 1, 8.
10 10 10 10
i=1
33