Page 35 - XSTK6

Tø tính ch§t (ii), ta th§y di»n tích cõa hình giîi h¤n bði hàm mªt đë xác
su§t và tröc Ox b¬ng 1. Ngưíi ta cũng chùng minh đưñc r¬ng n¸u mët hàm thüc
+∞
R
không âm f(x) thäa mãn f(x)dx = 1 thì nó cũng là hàm mªt đë xác su§t cõa
−∞
mët BNN X nào đó.
(
0, n¸u x /∈ [0, π],
Ví dö 2.8. Cho f(x) =
k sin x, n¸u x ∈ [0, π].
a) Tìm k đº f(x) là hàm mªt đë xác su§t.
b) Tìm hàm phân phèi xác su§t tương ùng.
π 3π

c) Tính xác su§t đº X nhªn giá trà trong kho£ng , .
2 2
Líi gi£i.
+∞
R
a) Đº f(x) là hàm mªt đë xác su§t thì f(x) ≥ 0 và f(x)dx = 1. Tø f(x) ≥ 0
−∞
ta suy ra k ≥ 0. Đçng thíi
+∞ π 1
Z Z
f(x)dx = 1 ⇔ k sin xdx = 1 ⇔ k = .
−∞ 0 2
x
R
b) Vîi x ≤ 0 thì f(t)dt = 0.
−∞
Vîi 0 < x ≤ π thì

Z x Z 0 Z x
1 1
f(t)dt = 0dt + sin tdt = (1 − cos x).
2 2
−∞ −∞ 0
Vîi x > π thì
Z x Z π Z x
1
f(t)dt = sin tdt + 0dt = 1.
−∞ 0 2 π


0, n¸u x ≤ 0,


1
Vªy F(x) = (1 − cos x), n¸u 0 < x ≤ π,
2

1, n¸u x > π.

π 3π

c) Xác su§t đº X nhªn giá trà trong kho£ng , là
2 2
π 3π 3π π 1 π 1

P < X < = F − F = 1 − 1 − cos = .
2 2 2 2 2 2 2
2.2. CÁC THAM SÈ ĐC TRƯNG CÕA BI˜N NGˆU NHIÊN
Khi bi¸t b£ng phân phèi xác su§t đèi vîi BNN ríi r¤c hay bi¸t hàm mªt đë
xác su§t đèi vîi BNN liên töc thì ta hoàn toàn xác đành đưñc quy luªt xác su§t
cõa BNN. Tuy nhiên, trong thüc t¸, đº gi£i quy¸t mët v§n đ· nào đó nhi·u khi
không c¦n thông tin mët trong các lo¤i hàm nêu trên mà ch¿ c¦n bi¸t mët sè giá
trà đ°c trưng tương ùng vîi BNN đang xét. Các giá trà đ°c trưng này đưñc chia

thành hai nhóm: mët nhóm đ°c trưng cho và trí và mët nhóm đ°c trưng cho mùc
phân tán cõa BNN.

32