Page 39 - XSTK6

Đành nghĩa 2.5. N¸u X là mët BNN ch¿ nhªn các giá trà dương thì giá trà
kì vång hình håc cõa X, kí hi»u là G(X), đưñc cho bði công thùc sau

G(X) = exp(E(ln X)).
Tø (2.5), ta đưñc G(X) ≤ E(X). D§u “=” x£y ra khi X là h¬ng sè.

Ví dö 2.14. Gi£ sû có mët cơ hëi đ¦u tư trong đó kh£ năng th­ng/thua là
50-50, sau 1 tháng s³ bi¸t k¸t qu£. N¸u th­ng thì lãi 100%, n¸u thua thì lé 50%
sè ti·n bä ra. Häi đèi vîi ngưíi đ¦u tư thì có nên đ¦u tư vào nhúng cơ hëi như
vªy không? Theo b¤n nên đ¦u tư vîi nhi·u nh§t bao nhiêu % vèn đ¦u tư (đº đ¤t
kì vång lñi nhuªn cao nh§t, gi£ sû là không có các cơ hëi đ¦u tư khác)?

Líi gi£i. Trưîc h¸t, ta có thº tính giá trà kì vång lñi nhuªn cõa đ¦u tư theo

cơ hëi trên vîi 1 đơn và vèn bä ra. Gåi L là bi¸n “lñi nhuªn”, ta có 2 kh£ năng:
ho°c L = 1 ho°c L = −1/2, méi kh£ năng có xác su§t 50%. Như vªy kì vång lñi
nhuªn trên 1 đơn và vèn bä ra là:

E(L) = 0, 5.1 + 0, 5.(−1/2) = 0, 25.

Kì vång lñi nhuªn ð đây là dương (b¬ng 25% vèn bä ra trong mët tháng),
nên đây là cơ hëi nên đ¦u tư, trø khi có nhúng cơ hëi khác tèt hơn.
Câu häi thù hai là nhà đ¦u tư nên đ¦u tư vào đó nhi·u nh§t là bao nhiêu
ph¦n trăm vèn đ¦u tư? N¸u gi£ sû đ¦u tư toàn bë 100% vèn. Khi đó có 2 kh£ năng,

ho°c là têng sè vèn tăng lên g§p đôi, ho°c là gi£m đi còn 1 nûa, vîi xác su§t cõa
méi kh£ năng là 50%. Nhưng n¸u mët nhà đ¦u tư mà làm như vªy 2 l¦n liên ti¸p,
1 l¦n th­ng và 1 l¦n thua, thì sau hai l¦n sè vèn l¤i v· như cũ, không tăng trưðng
đưñc gì. Muèn đ£m b£o cho vèn tăng trưðng “v· lâu v· dài”, cái c¦n tính đ¸n không
ph£i là kì vång cõa vèn sau méi l¦n đ¦u tư, mà là giá trà kì vång hình håc. N¸u gi£
sû ch¿ có 1 cơ hëi đ¦u tư duy nh§t như trên, thì giá trà kì vång hình håc cõa vèn có
p
đưñc sau khi đ¦u tư Y ti·n vào đó trên têng sè X ti·n s³ là (X − Y/2)(X + Y ).
p
Đº tèi đa hóa giá trà kì vång hình håc tùc là tìm Y sao cho (X − Y/2)(X + Y )
đ¤t cüc đ¤i, ta c¦n chån Y = X/2 (vîi X cho trưîc), và khi đó giá trà kì vång hình
p
håc cõa vèn sau khi đ¦u tư là (X − X/4)(X + X/2) = 1, 061.X. Như vªy, kì vång
lñi nhuªn cõa mët cơ hëi đ¦u tư như trên, tính trên toàn bë vèn cõa nhà đ¦u tư,
ch¿ có không quá 6,1% chù không ph£i 25%.

2.2.2. Phương sai và đë l»ch chu©n
a) Đành nghĩa

Xét BNN X có kì vång E(X).

Đành nghĩa 2.6. Phương sai cõa BNN X, kí hi»u D(X), đưñc đành nghĩa
như sau:
h i
2
D(X) = E X − E(X) . (2.6)
Sû döng tính ch§t cõa kì vång, ta có thº bi¸n đêi công thùc (2.6) thành

2
2
D(X) = E(X ) − [E(X)] .
36