Page 40 - XSTK6

Trong tính toán, phö thuëc vào X là ríi r¤c (vîi hàm xác su§t p(x)) hay liên
töc (vîi hàm mªt đë f(x)), ta có hai công thùc tính phương sai:

! 2
X X X
2
2
D(X) = [x i − E(X)] p i = x p i − x i p i ,
i
∀i ∀i ∀i
Z +∞ Z +∞ Z +∞ 2
2
2
D(X) = [x − E(X)] f(x)dx = x f(x)dx − xf(x)dx .
−∞ −∞ −∞
Ví dö 2.15. Theo thèng kê, vi»c mët ngưíi Mÿ 25 tuêi s³ sèng thêm trên
mët năm có xác su§t là 99,2%, còn xác su§t đº ngưíi đó ch¸t trong vòng mët
năm tîi là 0,8%. Mët công ty b£o hiºm đ· nghà ngưíi đó tham gia chương trình
b£o hiºm sinh m¤ng cho 1 năm vîi sè ti·n chi tr£ 1 000 USD, còn ti·n đóng là
10 USD. Tính phương sai cõa lñi nhuªn mà công ty b£o hiºm nhªn đưñc.

Líi gi£i. Gåi X là lñi nhuªn cõa công ty b£o hiºm trong 1 năm. Khi đó X
nhªn 2 giá trà là 10 USD (n¸u khách hàng không ch¸t) và −990 USD (n¸u khách
hàng qua đíi) vîi xác su§t tương ùng là 0,008 và 0,992. Như vªy kì vång (lñi nhuªn
cõa công ty trên 1 khách hàng trong 1 năm) là
E(X) = (−990).0, 008 + 10.0, 992 = 2.
2
2
2
Ta có E(X ) = (−990) .0, 008 + 10 .0, 992 = 7940 và phương sai
2
2
D(X) = E(X ) − [E(X)] = 7940 − 4 = 7936.
Đº ý r¬ng phương sai D(X) luôn là mët sè không âm (xem công thùc (2.6)).
Tø đành nghĩa ta cũng th§y r¬ng v· m°t vªt lí D(X) không cùng thù nguyên (cùng
đơn và đo) đèi vîi X, vì vªy ta đưa vào khái ni»m sau đây.
Đành nghĩa 2.7. Đë l»ch chu©n cõa BNN X, kí hi»u là σ(X), đưñc đành
p
nghĩa là σ(X) = D(X).
2
2
Phương sai còn đưñc kí hi»u là σ (X) ho°c σ (n¸u đã bi¸t rõ là phương sai
cõa BNN X nào đó). Đë l»ch chu©n đưñc dùng thưíng xuyên hơn phương sai do
có cùng đơn và đo vîi chính BNN X.
Tính ch§t:
(i) D(C) = 0 vîi C là h¬ng sè,
2
(ii) D(CX) = C D(X), σ(CX) = |C|σ(X),
(iii) N¸u X, Y đëc lªp và D(X), D(Y ) húu h¤n thì D(X±Y ) = D(X)+D(Y ) và

p
σ(X ± Y ) = D(X) + D(Y ) ≤ σ(X) + σ(Y ).

b) Ý nghĩa và ùng döng thüc t¸ cõa phương sai
Phương sai chính là đë l»ch bình phương trung bình quanh giá trà kì vång
E(X). Vªy phương sai đ°c trưng cho đë phân tán cõa BNN quanh trà trung bình
cõa BNN đó. Cũng theo ý nghĩa đó, phương sai càng lîn thì đë b§t đành cõa bi¸n
tương ùng càng lîn. Trong công nghi»p, phương sai biºu thà đë chính xác cõa s£n
xu§t; trong kÿ thuªt, phương sai đ°c trưng cho mùc đë phân tán cõa các chi ti¸t
gia công hay sai sè cõa thi¸t bà; trong qu£n lí và kinh doanh thì nó đ°c trưng cho

mùc đë rõi ro cõa các quy¸t đành; trong chăn nuôi, phương sai biºu thà đë đçng đ·u
cõa các con gia súc; trong trçng tråt, nó biºu thà mùc đë ên đành cõa năng su§t...

37