Page 9 - Giao trinh DSTT

vi) (AB) = ( A)B = A( B), ∈ K.

1.3. Đại số Mat nK các ma trận vuông cấp n

1.3.1. Định thức của tích hai ma trận
Định lý 1.1. Nếu A và B là hai ma trận vuông cùng cấp thì ta có

Ví dụ 1.8.

Cho hai ma trận A = ( ) và B = ( ), khi đó ( ) .

Đồng thời,

| | | | | | .

Như vậy,

Chú ý: Định thức của ma trận vuông A cấp n (n 3) được kí hiệu là det(A)
và được tính theo công thức: det(A) = ∑ ( ) Trong đó ma

trận M 1j là ma trận sinh ra từ ma trận A bằng cách bỏ đi hàng 1 cột j.
1.3.2. Ma trận nghịch đảo

Định nghĩa 1.7. Xét ∈ . Nếu tồn tại ma trận ∈ sao cho

, thì ta nói ma trận là khả đảo và là ma trận nghịch đảo của ký

hiệu .

Như vậy, .

Ví dụ 1.9. Cho ma trận A = ( ) và ( ) Dễ thấy:

( ) ( ) ( )

và ( ) ( ) ( ) . Do đó: .

Định lý 1.2. Ma trận nghịch đảo của ∈ nếu tồn tại thì tồn tại duy nhất.

Chứng minh:

Giả sử và là hai ma trận nghịch đảo của , tức là ta có: AB=BA=I và
AC=CA=I. Từ , hay

Định lý 1.3. Nếu ∈ là ma trận khả đảo, tức là nó có nghịch đảo thì

Chứng minh:
-1
Từ AA =I, theo định lý trên ta có:

Vậy,

5