Page 49 - XSTK6

Các tham sè đ°c trưng cõa phân phèi chu©n gçm:

2
E(X) = µ, D(X) = σ và ModX = MedX = µ.

Ví dö 2.25. Đë dài mët chi ti¸t máy gi£ sû tuân theo luªt phân phèi chu©n
vîi giá trà trung bình 20cm và đë l»ch chu©n là 0,5cm. Hãy tính xác su§t khi chån
ng¨u nhiên ra mët chi ti¸t có đë dài:
a) lîn hơn 20cm,
b) bé hơn 19,5cm,
c) lîn hơn 21,5cm.

Líi gi£i. Gåi X là đë dài cõa chi ti¸t máy chån ra, rõ ràng X ∼ N(20; 0, 5).
a) Do MedX = 20 nên P(X > 20) = 1 − P(X ≤ 20) = 0, 5.
b) Tø Hình 2.3, ta có

P(19, 5 ≤ X ≤ 20, 5) = P(µ − σ ≤ X ≤ µ + σ) = 0, 68.

0, 32
Do tính đèi xùng nên P(X < 19, 5) = = 0, 16 (và cũng b¬ng P(X > 20, 5)).
2
c) Tương tü câu b) ta đưñc

P(18, 5 ≤ X ≤ 21, 5) = P(µ − 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ) = 0, 99.
0, 01
Tø đây suy ra P(X > 21, 5) = = 0, 005.
2
Đành nghĩa 2.18. N¸u BNN X có phân phèi chu©n vîi kì vång µ = 0 và
2
phương sai σ = 1 thì X đưñc gåi là BNN có phân phèi chu©n t­c.
Hàm mªt đë cõa phân phèi chu©n t­c kí hi»u là ϕ(x) cho bði
1 x 2
ϕ(x) = √ e − 2 , ∀x ∈ R.
2π

Hàm phân phèi cõa phân phèi chu©n t­c kí hi»u là Φ(x) có biºu thùc

Z x
1 t 2
Φ(x) = √ e − 2 dt, ∀x ∈ R.
2π −∞

Phö löc B£ng I, II cung c§p b£ng tính s®n các giá trà cõa ϕ(x) và Φ(x). C¦n chú
1 R x t 2
ý r¬ng mët sè tài li»u cung c§p b£ng tính giá trà hàm Φ 0 (x) = √ e − 2 dt, x ≥ 0
2π 0
(còn gåi là hàm Laplace). Hơn núa phân phèi chu©n t­c có kì vång µ = 0 nên
1 R 0 t 2 1
Φ(0) = √ e − 2 dt = . Khi đó
2π −∞ 2

Z 0
1 t 2
Φ(x) = Φ 0 (x) + √ e − 2 dt = Φ 0 (x) + 0, 5, ∀x ≥ 0.
2π −∞

Hàm phân phèi cõa phân phèi chu©n t­c có các tính ch§t sau:
(i) Φ(−x) = 1 − Φ(x);
(ii) N¸u X ∼ N(0; 1) thì vîi måi a > 0, ta có

P(|X| > a) = 2 1 − Φ(a) và P(|X| < a) = 2Φ(a) − 1.

46