Page 52 - XSTK6

c) Đành lí giîi h¤n trung tâm

Gi£ sû X 1 , X 2 , · · · , X n , · · · là mët dãy các BNN đëc lªp có cùng phân phèi
xác su§t, vîi kì vång b¬ng µ và đë l»ch chu©n b¬ng σ húu h¤n. Đành lí giîi h¤n
trung tâm s³ cho chúng ta bi¸t v· dáng đi»u ti»m cªn cõa phân phèi xác su§t cõa
têng S n = X 1 + · · · + X n khi n ti¸n tîi vô cùng. Nh­c l¤i h» qu£ sau đây cho các
BNN X i đëc lªp:

n n
!
X X
E(S n ) = E X i = E(X i ) = nµ,
i=1 i=1
!
n n
X X
2
D(S n ) = D X i = D(X i ) = nσ .
i=1 i=1
S n − nµ
Đ°t Z n = √ , khi đó
σ n

S n − nµ E(S n ) − nµ S n − nµ D(S n )
E(Z n ) = E √ = √ = 0 và D √ = = 1.
σ n σ n σ n nσ 2
S n − nµ
Đi·u đó có nghĩa là, qua phép bi¸n đêi tuy¸n tính Z n = √ , ta có thº
σ n
đưa BNN S n v· mët BNN Z n có kì vång b¬ng 0 và phương sai b¬ng 1. BNN Z n này
đưñc gåi là chu©n hóa cõa S n, hay còn gåi là têng chu©n hóa cõa X 1 , · · · , X n.

Đành lí giîi h¤n trung tâm phát biºu r¬ng, b§t kº phân phèi ban đ¦u (cõa X 1) ra
sao, khi n đõ lîn thì phân phèi cõa têng chu©n hóa Z n có thº đưñc x§p x¿ r§t tèt
b¬ng phân phèi chu©n t­c N(0; 1), và khi n ti¸n tîi vô cùng thì nó ti¸n tîi N(0; 1).
Hay nói mët cách chính xác hơn, ta có đành lí sau đây.

Đành lý 2.6. (Giîi h¤n trung tâm) Gi£ sû X 1 , X 2 , · · · , X n , · · · là mët dãy
các BNN đëc lªp có cùng phân phèi xác su§t, vîi kì vång b¬ng µ và đë l»ch chu©n
(X 1 + · · · + X n ) − nµ
b¬ng σ húu h¤n. Đ°t Z n = √ , khi đó phân phèi Z n x§p x¿ phân
σ n
phèi chu©n t­c N(0; 1) vîi n đõ lîn, hơn núa ∀α, β ∈ R, α < β, ta có

lim P(α ≤ Z n ≤ β) = Φ(β) − Φ(α).
n→∞
Ý nghĩa cõa đành lí giîi h¤n trung tâm là khi có nhi·u nhân tè ng¨u nhiên

tác đëng (sao cho không có nhân tè nào vưñt trëi l§n át các nhân tè khác) thì k¸t
qu£ cõa chúng có d¤ng phân phèi ti»m cªn chu©n.

Ví dö 2.28. Mët qu£ đªu có trång lưñng trung bình là 15g vîi đë l»ch
chu©n là 3g. Mët túi gçm 100 qu£ đªu cùng lo¤i đưñc gåi là đ¤t lo¤i A n¸u trång
lưñng ít nh§t ph£i đ¤t 1,5kg.
a) L§y ra ng¨u nhiên mët túi đªu, tìm xác su§t đº túi đó đ¤t lo¤i A.
b) Chån ng¨u nhiên 40 túi đªu, tìm xác su§t đº sè túi lo¤i A không quá 15.
Líi gi£i. Gåi X i là trång lưñng qu£ đªu thù i trong túi i = 1, 100, khi đó
trång lưñng cõa túi là S 100 = X 1 + · · · + X 100. Theo Đành lí 2.6 ta có BNN

S 100 − 100.0, 015 S 100 − 1, 5
Z 100 = √ = ∼ N(0; 1).
0, 003 100 0, 03

49