Page 57 - XSTK6

Tương tü vîi BNN hai chi·u ríi r¤c, BNN hai chi·u liên töc (X, Y ) đưñc gåi
là đëc lªp n¸u f(x, y) = f 1 (x).f 2 (y). Trong trưíng hñp (X, Y ) không đëc lªp ta có

khái ni»m hàm mªt đë có đi·u ki»n cõa X khi bi¸t Y = y 0 đưñc xác đành bði
f(x, y 0 ) f(x, y 0 )
ϕ(x|y 0 ) = = ;
f 2 (y 0 ) +∞
R
f(x, y 0 )dx
−∞

f(x 0 , y)
tương tü, ϕ(y|x 0 ) là hàm mªt đë có đi·u ki»n cõa Y bi¸t X = x 0 và b¬ng .
f 1 (x 0 )

Ví dö 2.31. Cho hàm mªt đë đçng thíi f(x, y) = x + y vîi 0 ≤ x, y ≤ 1. Xác
đành các hàm mªt đë có đi·u ki»n.
Líi gi£i. Trưîc h¸t ta c¦n xác đành các hàm mªt đë biên:

+∞ 1
Z Z
f 1 (x) = f(x, y)dy = (x + y)dy = x + 0, 5; 0 ≤ x ≤ 1;
−∞ 0
Z +∞ Z 1
f 2 (y) = f(x, y)dx = (x + y)dx = y + 0, 5; 0 ≤ y ≤ 1.
−∞ 0
Vîi 0 ≤ y 0 ≤ 1 thì


x + y 0
 , x ∈ [0; 1],
ϕ(x|y 0 ) = y 0 + 0, 5
0, x /∈ [0; 1],

và vîi 0 ≤ x 0 ≤ 1 thì

x 0 + y
 , y ∈ [0; 1],
ϕ(y|x 0 ) = x 0 + 0, 5
0, y /∈ [0; 1].

Têng quát, phân phèi có đi·u ki»n cõa X khi bi¸t đi·u ki»n y 1 ≤ Y ≤ y 2 là

x y 2
R R
du f(u, v)dv
−∞ y 1
P(X < x|y 1 ≤ Y ≤ y 2 ) = .
+∞ y 2
R R
du f(u, v)dv
−∞ y 1

2.4.2. Các tham sè đ°c trưng cõa bi¸n ng¨u nhiên hai chi·u
N¸u bi¸t phân phèi đçng thíi cõa các BNN, ta có thº bi¸t phân phèi biên và
tø đó ta có thº bi¸t đưñc kì vång, phương sai cõa méi BNN đã cho. Tuy nhiên có
thº tính trüc ti¸p các sè đ°c trưng này tø phân phèi đçng thíi. Ð đây, các công
thùc ch¿ vi¸t cho bi¸n X, đèi vîi bi¸n Y hoàn toàn tương tü.

N¸u X là bi¸n ríi r¤c thì:
X X X
E(X) = x i p 1 (x i ) = x i p(x i , y j );
i i j
2 X X 2 2
X
D(X) = x i − E(X) p 1 (x i ) = x p(x i , y j ) − [E(X)] .
i
i i j
54