Page 58 - XSTK6

N¸u X là bi¸n liên töc thì:

Z +∞ Z +∞ Z +∞
E(X) = xf 1 (x)dx = xf(x, y)dxdy;
−∞ −∞ −∞
+∞ +∞ +∞
Z Z Z
2 2 2
D(X) = x − E(X) f 1 (x)dx = x f(x, y)dxdy − [E(X)] .
−∞ −∞ −∞
Ví dö 2.32. Cho BNN hai chi·u (X, Y ) có hàm mªt đë xác su§t như sau:

A

 √ , 0 < x ≤ y < 1, vîi A > 0,
f(x, y) = xy
0, trưíng hñp khác.


a) Xác đành A.
b) Tính E(X), E(Y ), D(X), D(Y ).

Líi gi£i.
a) Theo gi£ thi¸t f(x, y) là hàm mªt đë xác su§t cõa BNN hai chi·u (X, Y )
nên suy ra

+∞ +∞ 1 y
Z Z Z Z
A
1 = f(x, y)dxdy = √ dx dy = 2A ⇒ A = 1/2.
−∞ −∞ 0 0 xy
1

√ , 0 < x ≤ y < 1,

Vªy f(x, y) = 2 xy
0, trưíng hñp khác.

b) Ta có:
1
Z +∞ Z +∞ Z Z y
x 1
E(X) = xf(x, y)dxdy = √ dx dy = ,
−∞ −∞ 0 0 2 xy 6

+∞ +∞ 1 y
Z Z Z Z
y 1
E(Y ) = yf(x, y)dxdy = √ dx dy = ,
−∞ −∞ 0 0 2 xy 2

1
Z +∞ Z +∞ Z Z y x 2 1 7
2
2
D(X) = x f(x, y)dxdy − [E(X)] = √ dx dy − = ,
−∞ −∞ 0 0 2 xy 36 210
+∞ +∞ 1 y y 2 1 1
Z Z Z Z
2
2
D(Y ) = y f(x, y)dxdy − [E(Y )] = √ dx dy − = .
−∞ −∞ 0 0 2 xy 4 12
a) Hi»p phương sai

Đành nghĩa 2.23. Cho hai BNN X, Y , khi đó hi»p phương sai (covariance)
cõa chúng là đ¤i lưñng

h i

cov(X, Y ) = E X − E(X) Y − E(Y ) = E(XY ) − E(X).E(Y ).

55