Page 59 - XSTK6

Phö thuëc vào các BNN (X, Y ) là ríi r¤c hay liên töc, ta có:

X X
cov(X, Y ) = x i y j p(x i , y j ) − E(X).E(Y ),
i j
+∞ +∞
Z Z
cov(X, Y ) = xyf(x, y)dxdy − E(X).E(Y ).
−∞ −∞

Ý nghĩa cõa hi»p phương sai cov(X, Y ) là: nó đo đë dao đëng “cùng hưîng”

hay “ngưñc hưîng” cõa X và Y . Ð đây ta hình dung là X và Y dao đëng quanh
trung điºm (giá trà kì vång) tương ùng cõa chúng. N¸u như X và Y luôn dao đëng
cùng hưîng, tùc là X dao đëng lên trên trung điºm (X − E(X) > 0) khi Y cũng
dao đëng lên trên trung điºm, và X dao đëng xuèng dưîi khi Y cũng dao đëng

xuèng dưîi, thì X − E(X) Y − E(Y ) luôn có có giá trà lîn hơn ho°c b¬ng 0, và
cov(X, Y ) là sè dương. Ngưñc l¤i, n¸u X và Y dao đëng ngưñc hưîng, thì cov(X, Y )
là sè âm. Trong trưíng hñp chung, cov(X, Y ) là sè âm hay sè dương tùy thuëc vào
vi»c X và Y dao đëng ngưñc hưîng nhi·u hơn hay dao đëng cùng hưîng nhi·u hơn.
Trong trưíng hñp đ°c bi»t, khi X = Y , thì hi»p phương sai cõa mët BNN vîi
chính nó là phương sai cõa nó:

h i
2
cov(X, X) = E X − E(X) = D(X).

Tính ch§t:
(i) Đèi xùng: cov(X, Y ) = cov(Y, X);

(ii) Tuy¸n tính: cov(αX 1 + βX 2 , Y ) = α.cov(X 1 , Y ) + β.cov(X 2 , Y );
(iii) B§t bi¸n xê dàch: cov(X + a, Y ) = cov(X, Y ).
b) H» sè tương quan
N¸u X, Y đëc lªp vîi nhau thì E(XY ) = E(X).E(Y ) suy ra cov(X, Y ) = 0,
nhưng đi·u ngưñc l¤i không ch­c đúng. Vì vªy ta đưa vào khái ni»m mîi.

Đành nghĩa 2.24. N¸u cov(X, Y ) = 0 ta nói X và Y không tương quan.
Ngưñc l¤i, X và Y gåi là tương quan vîi nhau.

V· m°t Vªt lí, hi»p phương sai có đơn và đo b¬ng bình phương đơn và đo cõa
X và Y (n¸u chúng cùng đơn và đo), vì th¸ ngưíi ta đưa ra mët đ°c trưng khác
gåi là h» sè tương quan.

Đành nghĩa 2.25. N¸u hai BNN X, Y có đë l»ch chu©n σ(X), σ(Y ) khác 0,
thì h» sè tương quan cõa chúng là đ¤i lưñng

cov(X, Y )
ρ(X, Y ) = .
σ(X)σ(Y )
Có thº chùng minh đưñc |ρ(X, Y )| ≤ 1. N¸u ρ(X, Y ) = 1, ta có hai bi¸n X, Y
có quan h» tuy¸n tính h» sè dương, tùc là tçn t¤i a > 0 và b ∈ R sao cho X = aY +b.
Ngưñc l¤i, n¸u ρ(X, Y ) = −1 thì X, Y có quan h» tuy¸n tính h» sè âm.

Ví dö 2.33. Tính cov(X, Y ) và ρ(X, Y ) trong Ví dö 2.29.

56