Page 51 - XSTK6

b) Đành lí De Moivre-Laplace

Xét lưñc đç Bernoulli, xác su§t xu§t hi»n sü ki»n A ð méi phép thû là p. Xác
su§t đº A xu§t hi»n đúng k l¦n trong n l¦n thû là P n (k; p). Xác su§t đº A xu§t
hi»n trong kho£ng tø k 1 đ¸n k 2 l¦n trong n l¦n thû là P n (k 1 , k 2 ; p). Theo công thùc
Bernoulli (1.16) ta có:

k 2
X
k k
k k
P n (k; p) = C p (1 − p) n−k và P n (k 1 , k 2 ; p) = C p (1 − p) n−k .
n
n
k=k 1
Vi»c sû döng công thùc Bernoulli đº tính các xác su§t đòi häi ph£i thüc hi»n
mët sè lưñng khá lîn các phép toán nên khi n đõ lîn thäa mãn n.p ≥ 5 vîi p ≤ 0, 5
ho°c n(1 − p) ≥ 5 khi p ≥ 0.5, ta sû döng công thùc x§p x¿ đưñc suy ra tø các đành
lí sau.

Đành lý 2.4. (De Moivre-Laplace đàa phương) Vîi X ∼ B n; p và ϕ(x) là
hàm mªt đë cõa phân phèi chu©n t­c N(0; 1), ta có
!
1 k − n.p
· ϕ .
lim P n (k; p) = p p
n→∞ n.p.(1 − p) n.p.(1 − p)

Đành lý 2.5. (De Moivre-Laplace tích phân) Vîi X ∼ B n; p và Φ(x) là
hàm phân phèi cõa phân phèi chu©n t­c N(0; 1), ta có

! !
k 2 − n.p k 1 − n.p
lim P n (k 1 , k 2 ; p) = Φ p − Φ p .
n→∞ n.p.(1 − p) n.p.(1 − p)

Ví dö 2.27. T¤i mët khu ngh¿ mát có 2n ngưíi đ¸n ngh¿. Khách đưñc phöc
vö ăn trưa bði hai đñt liên ti¸p tø 10h30 đ¸n 11h30 và tø 11h30 đ¸n 12h30. Méi
khách ngh¿ có thº đ¸n quán ăn cõa khu ngh¿ mát vào mët trong hai đñt vîi cùng
mët kh£ năng. Hãy tìm sè ché ngçi tèi thiºu t¤i quán ăn đº vîi xác su§t không
nhä hơn 0,95 có thº tin r¬ng không có khách nào không đưñc phöc vö ăn trưa.

Líi gi£i. Gåi X là sè ngưíi đ¸n quán ăn trong l¦n phöc vö đ¦u, tø 10h30
đ¸n 11h30. Khi đó X ∼ B(2n; 0, 5). Gåi m là sè ché ngçi t¤i quán ăn, ta có

P(X ≤ m, 2n − X ≤ m) ≥ 0, 95 ⇔ P(2n − m ≤ X ≤ m) ≥ 0, 95.

Áp döng Đành lí 2.5 ta đưñc

m − 2n.0, 5 2n − m − 2n.0, 5
P(2n − m ≤ X ≤ m) = Φ √ − Φ √ ≥ 0, 95
0, 5 2n 0, 5 2n

m − n m − n
⇔ 2Φ √ − 1 ≥ 0, 95 ⇔ Φ √ ≥ 0, 975 = Φ(1, 96)
0, 5 2n 0, 5 2n
√
⇔ m ≥ n + 0, 98 2n.

Như vªy n¸u khu ngh¿ mát có 100 khách (ùng vîi n = 50) thì phòng ăn c¦n
bè trí m ≥ 50 + 0, 98.10 = 59, 8 hay 60 ché ngçi.

48