Page 50 - XSTK6

Đành nghĩa 2.19. Giá trà U α đưñc gåi là giá trà tîi h¤n mùc α cõa phân
phèi chu©n t­c n¸u Φ(U α ) = 1 − α.
Tø đành nghĩa trên, n¸u X ∼ N(0, 1) và vîi måi α ∈ (0; 1) thì

P(X > U α ) = P(|X| > U α/2 ) = α và P(|X| < U α/2 ) = 1 − α. (2.9)
X − µ
2
Có thº chùng minh đưñc r¬ng: n¸u X ∼ N(µ; σ ) thì ∼ N(0; 1). Do đó
σ

X − µ a − µ a − µ
P(X ≤ a) = P ≤ = Φ ,
σ σ σ

α − µ X − µ β − µ β − µ α − µ
P(α ≤ X ≤ β) = P ≤ ≤ = Φ − Φ ,
σ σ σ σ σ

ε
X − µ ε

P(|X − µ| < ε) = P < = 2Φ − 1.
σ σ σ
Ví dö 2.26. Gåi X là ch¿ sè thông minh (IQ) cõa håc sinh trung håc cơ
sð. Gi£ sû X ∼ N(85; 25).

a) Häi ch¿ sè IQ trung bình cõa håc sinh trong lùa tuêi này là bao nhiêu?
b) Tính xác su§t chån đưñc håc sinh r§t thông minh (X ≥ 90).
c) Tính t¿ l» håc sinh trong lùa tuêi này có ch¿ sè IQ thuëc (80; 95).
d) Gåi Y là sè håc sinh có IQ thuëc (80; 95) trong lîp 50 håc sinh. Hãy ch¿
rõ luªt phân phèi xác su§t cõa Y .
e) Trong mët lîp gçm 50 håc sinh thì trung bình có bao nhiêu em r§t thông
minh (X ≥ 90)? Con sè trung bình tìm đưñc có ph£i là sè có kh£ năng x£y ra cao
nh§t hay không? Vì sao?

Líi gi£i. BNN X ∼ N(85; 25) nên E(X) = 85, D(X) = 25.
a) Ch¿ sè IQ trung bình chính là kì vång và b¬ng 85.
b) Xác su§t chån đưñc håc sinh r§t thông minh là
90 − 85

P(90 ≤ X < +∞) = Φ(+∞) − Φ
5
= 1 − Φ(1) = 1 − 0, 8413 = 0, 1587.

c) T¿ l» håc sinh trong lùa tuêi này có ch¿ sè IQ thuëc (80; 95) là

95 − 85 80 − 85

P(80 < X < 95) = Φ − Φ
5 5
= Φ(2) − Φ(−1) = Φ(2) + Φ(1) − 1
= 0, 9773 + 0, 8413 − 1 = 0, 8168 ≈ 82%.

d) Mët lîp gçm 50 håc sinh đưñc chån tø tªp håc sinh vîi t¿ l»

p = P(80 < X < 95) ≈ 82%
đưñc xem như 50 phép thû Bernoulli vîi xác su§t 82%. Như vªy Y ∼ B(50; 0, 82).
e) Tương tü câu d), ta l¤i có 50 phép thû Bernoulli vîi p = 0, 1587 nên trung
bình trong lîp s³ có n.p = 50.0, 1587 = 7, 935 (g¦n 8) håc sinh r§t thông minh. Hơn
núa sè trung bình trên không ph£i là sè có kh£ năng cao nh§t. Sè håc sinh r§t
thông minh vîi xác su§t lîn nh§t là

(n + 1).p − 1 ≤ m ≤ (n + 1).p ⇔ m = 8.

47