Page 79 - XSTK6

3.3. ƯÎC LƯÑNG ĐIšM
3.3.1. Ưîc lưñng tham sè

Ưîc lưñng tham sè là mët trong nhúng bài toán cơ b£n cõa thèng kê toán
håc. Khi nghiên cùu đ°c tính A cõa méi cá thº cõa têng thº, n¸u xác đành đưñc
quy luªt xác su§t cõa A thì vi»c đưa ra các đánh giá cũng như các dü báo v· sü
bi¸n đëng cõa têng thº liên quan đ¸n đ°c tính này s³ chính xác và khách quan.
Tuy nhiên không ph£i lúc nào chúng ta cũng xác đành đưñc quy luªt xác su§t cõa
A. Trong mët sè trưíng hñp, ta ch¿ bi¸t đưñc d¤ng toán håc cõa hàm phân phèi
ho°c hàm mªt đë cõa bi¸n đành lưñng A mà chưa bi¸t các tham sè có m°t trong
chúng. Vì vªy đº xác đành quy luªt xác su§t cõa A trưîc h¸t ph£i đưa ra nhúng
đánh giá v· các tham sè này. Bài toán ưîc lưñng tham sè s³ giúp ta gi£i quy¸t v§n
đ· trên.
Bài toán ưîc lưñng tham sè có thº phát biºu têng quát như sau: Cho BNN

X cõa têng thº có luªt phân phèi xác su§t đã bi¸t nhưng chưa bi¸t tham sè θ nào
đó, ta ph£i xác đành giá trà cõa θ düa trên các thông tin thu đưñc tø mët m¨u
quan sát x 1 , · · · , x n cõa X. Quá trình xác đành mët tham sè θ chưa bi¸t đưñc gåi
ˆ
là quá trình ưîc lưñng tham sè. Giá trà tìm đưñc trong quá trình §y, kí hi»u là θ,
ˆ
đưñc gåi là ưîc lưñng cõa θ. Vì θ là mët giá trà sè nên nó đưñc gåi là ưîc lưñng
điºm, sau này ta còn có ưîc lưñng kho£ng (hay kho£ng tin cªy).
ˆ
Rõ ràng, θ là mët hàm sè n bi¸n g(X 1 , · · · , X n ) nào đó hay là mët thèng kê,
nhªn đ¦u vào là các m¨u thüc nghi»m (x 1 , · · · , x n ) cõa X và đ¦u ra là giá trà ưîc
ˆ
ˆ
lưñng cõa θ. Đi·u chúng ta muèn có là sai sè |θ − θ| giúa ưîc lưñng θ và giá trà thªt
cõa θ càng nhä càng tèt. Vì vªy ta ph£i đưa ra các tiêu chu©n đº đánh giá ch§t
ˆ
lưñng cõa thèng kê θ như là mët x§p x¿ tèt nh§t cõa θ. Nhúng tiêu chu©n như vªy
cho ta các nguyên lí thèng kê khác nhau.
3.3.2. Các tính ch§t cõa ưîc lưñng điºm
ˆ
Vîi mët m¨u ng¨u nhiên có thº xây düng nhi·u thèng kê θ khác nhau đº ưîc
lưñng cho tham sè θ. Vì vªy ta c¦n lüa chån thèng kê tèt nh§t đº ưîc lưñng cho
tham sè θ düa vào các tiêu chu©n sau đây.
a) Ưîc lưñng không ch»ch
ˆ
Thèng kê θ = g(X 1 , · · · , X n ) là mët hàm cõa các BNN X 1 , · · · , X n nên cũng
là mët BNN. Do đó ta có thº xét các đ°c trưng cõa thèng kê này.

ˆ
Đành nghĩa 3.2. Thèng kê θ đưñc gåi là ưîc lưñng không ch»ch cõa tham
ˆ
sè θ cõa têng thº n¸u E(θ) = θ.
ˆ
Tø đành nghĩa trên ta th§y E(θ − θ) = 0, đi·u đó có nghĩa là trung bình đë
l»ch cõa ưîc lưñng so vîi giá trà thªt b¬ng 0. N¸u đë l»ch có trung bình khác 0,
ta có ưîc lưñng ch»ch. Mët sai sè nào đó có trung bình khác không s³ đưñc gåi
là sai sè h» thèng; ngưñc l¤i s³ là sai sè ng¨u nhiên. Như vªy mët ưîc lưñng s³
đưñc gåi là không ch»ch khi đë l»ch so vîi giá trà thªt (sai sè ưîc lưñng) là sai sè
ng¨u nhiên.

Nhªn xét: Gi£ sû BNN X cõa têng thº có kì vång E(X) = µ, phương sai
2
D(X) = σ . Khi đó:

76