Page 82 - XSTK6

ˆ
ˆ
Bưîc 1: Tìm mët thèng kê θ sao cho phân phèi xác su§t cõa θ xác đành hoàn
toàn (không chùa đ°c sè θ).
Bưîc 2: Vîi đë tin cªy β cho trưîc, ta tìm c°p sè dương α 1 và α 2 thäa mãn
ˆ ˆ thäa mãn đi·u ki»n
α 1 + α 2 = α và tương đương vîi chúng là các phân và θ α 1 , θ 1−α 2
ˆ ˆ và ˆ ˆ ˆ ˆ
P(θ < θ α 1 ) = α 1 P(θ > θ 1−α 2 ) = 1 − P(θ < θ 1−α 2 ) = α 2 .
Khi đó
ˆ ˆ ˆ (3.6)
P(θ α 1 < θ < θ 1−α 2 ) = 1 − α 2 − α 1 = 1 − α = β.
Bưîc 3: B¬ng các phép bi¸n đêi tương đương ta đưa b§t đ¯ng thùc trong
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
(3.6) v· d¤ng θ 1 < θ < θ 2 và P(θ 1 < θ < θ 2 ) = β, đó chính là kho£ng tin cªy c¦n tìm.
3.4.2. Kho£ng tin cªy cho kì vång
2
Gi£ sû BNN cõa têng thº là X ∼ N(µ; σ ) vîi tham sè kì vång µ chưa bi¸t và
m¨u ng¨u nhiên (X 1 , · · · , X n ). Bài toán đ°t ra là tìm kho£ng tin cªy cho E(X) = µ
vîi đë tin cªy β cho trưîc.
2
a) Bài toán 1 (phương sai σ đã bi¸t)
X − µ√
Chån thèng kê ˆµ := Z = n. Tø gi£ thi¸t phân phèi chu©n cõa X (ho°c
σ

theo Đành lí 2.6) ta có Z ∼ N(0; 1). Theo (3.6), ta c¦n tìm các phân và z α 1 và z 1−α 2
thäa mãn:
X − µ√
< ) = β
P(z α 1 < Z < z 1−α 2 ) = β ⇔ P(z α 1 n < z 1−α 2
σ
σ σ
√ ) = β.
⇔ P(X − z 1−α 2 √ < µ < X − z α 1
n n
nên tø đ¯ng thùc
Do phân và cõa phân phèi chu©n có tính ch§t −z α 1 = z 1−α 1
trên ta thu đưñc kho£ng tin cªy c¦n tìm là
σ σ
√ . (3.7)
X − z 1−α 2 √ < µ < X + z 1−α 1
n n
Tø Đành nghĩa 2.19 v· giá trà tîi h¤n mùc α cõa phân phèi chu©n t­c, ta có
biºu thùc (3.7) tương đương vîi

σ σ
√ . (3.8)
X − U α 2 √ < µ < X + U α 1
n n
Như vªy đèi vîi đë tin cªy β cho trưîc, ta s³ có vô sè c°p α 1 , α 2 thäa mãn
α 1 + α 2 = α và tương ùng có vô sè kho£ng tin cªy. Mët sè trưíng hñp đ°c bi»t:
α
(i) Kho£ng tin cªy đèi xùng: N¸u ta chån α 1 = α 2 = thì tø (3.8) ta có
2
σ σ
X − U α/2 √ < µ < X + U α/2 √ .
n n

σ
Фi lưñng ε = U α/2 √ đưñc gåi là đë chính xác (hay sai sè) cõa ưîc lưñng,
n
nó ph£n ánh đë l»ch cõa trung bình m¨u so vîi kì vång lí thuy¸t vîi đë tin cªy β.
Vîi đë chính xác ε 0 và đë tin cªy β cho trưîc thì kích thưîc m¨u c¦n thi¸t
2
σ U 2
là sè tü nhiên n nhä nh§t thäa mãn: n ≥ α/2 .
ε 2 0

79