Page 81 - XSTK6

c) Ưîc lưñng vúng

Mët trong nhúng đ°c tính ưa chuëng cõa ưîc lưñng là khi kích thưîc m¨u n
đõ lîn, ưîc lưñng s³ có đë tin cªy đõ tèt.

ˆ
Đành nghĩa 3.4. Thèng kê θ đưñc gåi là mët ưîc lưñng vúng cõa tham sè
ˆ
θ n¸u vîi måi ε > 0 cho trưîc ta có lim P(|θ − θ| < ε) = 1.
n→∞
ˆ
Như vªy, n¸u thèng kê θ là mët ưîc lưñng vúng cõa θ thì khi n lîn (kích
ˆ
thưîc m¨u lîn) sü sai khác giúa θ và θ là không đáng kº.
2
Ví dö 3.9. Cho têng thº là BNN X vîi kì vång E(X) = µ và D(X) = σ .
Khi đó:

(i) Trung bình m¨u X là mët ưîc lưñng vúng cõa µ. Thªt vªy, ∀ε > 0, áp
döng b§t đ¯ng thùc Chebyschev (Đành lí 2.2), ta có

D(X) σ 2

P |X − µ| < ε ≥ 1 − = 1 − → 1, khi n → ∞.
ε 2 nε 2
(ii) T¦n su§t m¨u f = X là ưîc lưñng vúng cõa xác su§t p xu§t hi»n sü
ki»n A nào đó (n¸u X có phân phèi Bernoulli).

3.4. ƯÎC LƯÑNG KHOƒNG
Ưîc lưñng điºm có mët nhưñc điºm cơ b£n là không thº bi¸t đưñc đë chính
xác cũng như xác su§t đº ưîc lưñng đó chính xác, nh§t là khi kích thưîc m¨u nhä,
sü sai l»ch cõa ưîc lưñng so vîi giá trà thªt là khá lîn. Đº kh­c phöc các h¤n ch¸

đó, ngưíi ta düa vào khái ni»m ưîc lưñng b¬ng mët kho£ng giá trà. T§t nhiên mët
kho£ng ưîc lưñng v¨n có thº sai gièng như måi ưîc lưñng khác, nhưng khác vîi
ưîc lưñng điºm, xác su§t sai l¦m có thº bi¸t và trong chøng müc nào đó hy vång
có thº kiºm soát đưñc. Nói như vªy không có nghĩa là không nên dùng ưîc lưñng
điºm núa, nó v¨n cho ta mët thông tin quan trång và ưîc lưñng kho£ng s³ đưñc
xây düng xung quanh ưîc lưñng điºm.

3.4.1. Kho£ng tin cªy và đë tin cªy
ˆ
ˆ
Đành nghĩa 3.5. Gi£ sû θ 1 và θ 2 là hai thèng kê có tø m¨u ng¨u nhiên
(X 1 , X 2 . · · · , X n ) và θ là mët trong các đ°c sè cõa BNN X cõa têng thº. Khi đó
ˆ ˆ
[θ 1 , θ 2 ] đưñc gåi là kho£ng tin cªy cõa θ vîi đë tin cªy β n¸u

ˆ
ˆ

P θ 1 ≤ θ ≤ θ 2 = β.
ˆ
ˆ
- Đë dài θ 2 − θ 1 đưñc gåi là b· rëng cõa kho£ng tin cªy.
- H» sè α := 1 − β đưñc gåi là mùc ý nghĩa.
Trong thüc t¸, khi b· rëng cõa kho£ng tin cªy gi£m thì đë tin cªy β cũng
gi£m theo và ngưñc l¤i. Vì vªy, trong thèng kê ngưíi ta thưíng cè đành đë tin cªy β
ˆ ˆ
và tìm mët kho£ng tin cªy [θ 1 , θ 2 ] ùng vîi đë tin cªy này sao cho nó có b· rëng càng
nhä càng tèt. Thông thưíng, ngưíi ta chån đë tin cªy β trong đo¤n [0, 95; 0, 999],

kh£ năng m­c sai l¦m khi dùng các ưîc lưñng kho£ng là α.
ˆ
ˆ
Đº tìm θ 1 và θ 2 ùng vîi đë tin cªy β, ta thüc hi»n theo các bưîc sau:
78