Page 84 - XSTK6

2
b) Bài toán 2 (phương sai σ chưa bi¸t, kích thưîc m¨u n ≥ 30)
2
Trong nhi·u bài toán thüc t¸, ta không bi¸t phương sai σ cõa BNN têng thº
X. Nhưng n¸u kích thưîc m¨u n đõ lîn (n ≥ 30), ta có thº x§p x¿ đë l»ch chu©n
2
σ bði đë l»ch chu©n m¨u hi»u ch¿nh S (vì S là ưîc lưñng vúng, không ch»ch cõa
2
σ ). Khi đó kho£ng tin cªy cõa tham sè µ vîi đë tin cªy β = 1 − α bao gçm:

S S
(i) Kho£ng tin cªy đèi xùng: X − U √ ; X + U √ .
α/2
n α/2 n

S
(ii) Kho£ng tin cªy ph£i: X − U α √ ; +∞ .
n

S
(iii) Kho£ng tin cªy trái: −∞; X + U α √ .
n
2
c) Bài toán 3 (phương sai σ chưa bi¸t, kích thưîc m¨u n < 30)
2
- Phân phèi khi bình phương n bªc tü do χ (n):

Đành nghĩa 3.6. Xét n BNN đëc lªp X i ∼ N(0; 1), i = 1, n. Khi đó BNN
sau có phân phèi khi bình phương n bªc tü do

2
Z n = X 1 + X 2 + · · · + X n ∼ χ (n). (3.9)

Rõ ràng (3.9) cho ta cách nhªn bi¸t mët BNN có phân phèi khi bình phương
xu§t phát tø n bi¸n đëc lªp cùng phân phèi chu©n t­c. Các đ°c sè quan trång cõa
phân phèi khi bình phương gçm: E(Z n ) = n, D(Z n ) = 2n.
2
Các tính ch§t cõa phân phèi χ :
2
2
2
(i) N¸u X ∼ χ (n), Y ∼ χ (m) và đëc lªp thì X + Y ∼ χ (n + m).
Z n − n
(ii) BNN √ ∼ N(0; 1) khi n → ∞.
2n
2
(iii) Gi£ sû n BNN đëc lªp X i ∼ N(µ, σ ), i = 1, n và X = 1 P n X i thì
n i=1
2

n

P X i − X
2
∼ χ (n − 1).
σ
i=1
2
(iv) Giá trà tîi h¤n khi bình phương n bªc tü do mùc α, kí hi»u χ (n), đưñc
α

2
2
đành nghĩa là P χ > χ (n) = α.
α
2
(v) B£ng các giá trà tîi h¤n χ (n) cho trong B£ng III ph¦n Phö löc.
α
- Phân phèi Student n bªc tü do T(n)
2
Đành nghĩa 3.7. Cho X ∼ N(0; 1) và Y ∼ χ (n) là hai BNN đëc lªp. Khi
đó BNN sau có phân phèi Student n bªc tü do
X
∼ T(n).
T n = p
Y/n
Các tính ch§t cõa phân phèi Student:
n
(i) E(T n ) = 0, (n > 1) và D(T n ) = , (n > 2).
n − 2
(ii) Khi n khá lîn thì quy luªt Student T(n) hëi tö khá nhanh v· phân phèi
N(0; 1). Trong thüc t¸, n¸u n > 30 ta có thº xem thèng kê Student x§p x¿ N(0; 1).
81