Page 80 - XSTK6

1 P n
(i) Tø công thùc (3.1), thèng kê trung bình m¨u X = X i là mët ưîc
n i=1
lưñng không ch»ch cõa µ.
2
(ii) Tø công thùc (3.2), thèng kê phương sai m¨u hi»u ch¿nh S là mët ưîc
2
ˆ2
lưñng không ch»ch cõa σ , thèng kê phương sai m¨u S là mët ưîc lưñng ch»ch cõa
2
σ . Đi·u này gi£i thích vì sao chúng ta hay dùng công thùc phương sai m¨u hi»u
ˆ2
2
ch¿nh S thay vì S khi nói v· phương sai cõa mët m¨u.
(iii) Tø công thùc (3.4), thèng kê t¦n su§t m¨u f = X là mët ưîc lưñng
không ch»ch cõa xác su§t xu§t hi»n sü ki»n A nào đó (n¸u X có phân phèi Bernoulli
và vi»c l§y m¨u có hoàn l¤i).
2
2
(iv) Phương sai 1 P n (X i − µ) là mët ưîc lưñng không ch»ch cõa σ .
n i=1
b) Ưîc lưñng hi»u qu£
ˆ
ˆ
Gi£ sû θ là ưîc lưñng không ch»ch cõa θ, tùc là E(θ) = θ. Theo b§t đ¯ng thùc
Chebyschev (Đành lí 2.2), ta có
ˆ
ˆ
V D(θ) D(θ)
ˆ
ˆ

ˆ
P |θ − E(θ)| < ε ≥ 1 − ⇔ P |θ − θ)| < ε ≥ 1 − .
ε 2 ε 2

ˆ
ˆ
Nhªn th§y D(θ) càng nhä thì P |θ − θ)| < ε càng g¦n 1. Do đó ta s³ chån θ ˆ
ˆ
sao cho D(θ) nhä nh§t. Tø đó ta có đành nghĩa sau.
ˆ
Đành nghĩa 3.3. Ưîc lưñng không ch»ch θ đưñc gåi là ưîc lưñng hi»u qu£
ˆ
ˆ
cõa tham sè θ n¸u θ có phương sai D(θ) nhä nh§t trong các ưîc lưñng không
ch»ch khác đưñc xây düng trên cùng mët m¨u ng¨u nhiên cõa θ.
ˆ
Như vªy, đº xét xem ưîc lưñng không ch»ch θ có ph£i là ưîc lưñng hi»u qu£
cõa θ hay không ta c¦n ph£i tìm mët cªn dưîi cõa phương sai cõa các ưîc lưñng
ˆ
không ch»ch và so sánh phương sai cõa θ vîi cªn dưîi này. Đi·u này đưñc gi£i
quy¸t b¬ng b§t đ¯ng thùc Cramér-Rao phát biºu như sau.
Đành lý 3.1. (Cramér-Rao) Gi£ sû BNN X có hàm mªt đë xác su§t f(x, θ)
ˆ
trong đó θ là 1 đ°c sè (trung bình, phương sai, đë l»ch chu©n...) cõa X và θ là 1
ưîc lưñng không ch»ch cõa θ, khi đó

1
ˆ
D(θ) ≥ . (3.5)
2
∂ ln f(x, θ)
n.E
∂θ
Chú ý:
(i) B§t đ¯ng thùc (3.5) đưñc gåi là b§t đ¯ng thùc Cramér-Rao, cho bi¸t cªn
dưîi cõa phương sai các ưîc lưñng không ch»ch.
ˆ
ˆ
(ii) N¸u θ là ưîc lưñng không ch»ch cõa θ, θ có phương sai thäa mãn d§u
ˆ
b¬ng trong b§t đ¯ng thùc (3.5) thì θ là ưîc lưñng hi»u qu£ cõa θ.
2
(iii) N¸u BNN cõa têng thº X ∼ N(µ; σ ) thì trung bình m¨u X là ưîc lưñng
hi»u qu£ cõa kì vång E(X) = µ.
(iv) N¸u BNN cõa têng thº X ∼ B(1; p) thì t¦n su§t m¨u f = X là ưîc lưñng
hi»u qu£ cõa t¦n su§t p cõa têng thº.

77