Định nghĩa: Nhóm các sự kiện $A_1, A_2, \cdots,A_n, (n\geq 2)$ của một phép thử được gọi là một nhóm đầy đủ nếu:

1. $A_i \cap A_j= \varnothing$ (xung khắc từng đôi),
2. $A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n= \Omega$.

Ví dụ: Một tiểu đoàn có 3 đại đội cùng trồng một loại bí xanh. Chọn ngẫu nhiên một quả bí xanh và gọi $A_1, A_2, A_3$ lần lượt là sự kiện quả bí xanh được chọn do đại đội 1, đại đội 2 và đại đội 3 trồng. Khi đó hệ $\{A_1, A_2, A_3\}$ là đầy đủ.

Ví dụ: Xét một lô giày chiến sĩ được sản xuất bởi 3 nhà máy với tỉ lệ lần lượt là 20%, 30% và 50%. Xác suất giày hỏng của các nhà máy lần lượt là 0,001; 0,005 và 0,006. Lấy ngẫu nhiên một chiếc giày từ lô hàng. Tìm xác suất để chiếc giày lấy ra bị hỏng.

Theo định lý xác suất đầy đủ ta có: $$P(A_k|B)=\dfrac{P(A_k)P(B|A_k)}{P(B)}=\dfrac{P(A_k)P(B|A_k)}{\sum_{i=1}^{n}{P(A_i)P(B|A_i)}}$$ được gọi là công thức Bayes.

Ví dụ. Dây chuyền lắp ráp máy vô tuyến điện gồm các linh kiện là sản phẩm từ 2 nhà máy sản xuất ra. Số linh kiện nhà máy 1 sản xuất chiếm 55%, số linh kiện nhà máy 2 sản xuất chiếm 45%; tỷ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn của nhà máy 1 là 90%, nhà máy 2 là 87%. Lấy ngẫu nhiên ra 1 linh kiện từ dây chuyền lắp ráp đó ra kiểm tra thì được kết quả linh kiện đạt chuẩn. Tìm xác suất để linh kiện đó do nhà máy 1 sản xuất?

Giả sử, xác suất để biến cố $A$ xảy ra trong mỗi phép thử là không đổi và bằng $p$, xác suất để $A$ không xảy ra là bằng $1 – p = q$. Khi đó ta đi tìm xác suất để trong $n$ phép thử đó biến cố $A$ xảy ra đúng $k$ lần là bao nhiêu?

Định lý Bernoully. Xác suất để trong $n$ phép thử độc lập, biến cố $A$ (có xác suất là $p$) xảy ra đúng $k$ lần là: $$P_n(k;p)=C_n^k.p^k.q^{n-k}=C_n^k.p^k.(1-p)^{n-k},\quad\text{với }k= 0, 1, 2, \cdots, n.$$

Ví dụ. Một chiến sĩ bắn 3 phát đạn vào cùng 1 bia mỗi lần bắn 1 phát, xác suất bắn trúng đích là 0,8. Tìm xác suất để trong 3 lần bắn đó có 2 phát bắn trúng bia?