3.3. Công thức Bayes

Công thức xác suất đầy đủ

Định nghĩa: Nhóm các sự kiện $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}, (n \geq 2)$ của một phép thử được gọi là một nhóm đầy đủ nếu:

$A_{i} \cap A_{j} = \emptyset$ (xung khắc từng đôi),
$A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{n} = Ω$ .

Ví dụ: Một tiểu đoàn có 3 đại đội cùng trồng một loại bí xanh. Chọn ngẫu nhiên một quả bí xanh và gọi $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ lần lượt là sự kiện quả bí xanh được chọn do đại đội 1, đại đội 2 và đại đội 3 trồng. Khi đó hệ ${A_{1}, A_{2}, A_{3}}$ là đầy đủ.

Như vậy, xác suất

P (A_{i})

của một hệ đầy đủ

{A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}}

của không gian mẫu

Ω

, và biết các xác suất có điều kiện

P (A | A_{i})

, thì ta có:

P (A) = \sum_{i = 1}^{n} P (A \cap A_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} P (A_{i}) . P (A | A_{i})

được gọi là công thức xác suất đầy đủ, để tính xác suất của sự kiện

A

Ví dụ: Xét một lô giày chiến sĩ được sản xuất bởi 3 nhà máy với tỉ lệ lần lượt là 20%, 30% và 50%. Xác suất giày hỏng của các nhà máy lần lượt là 0,001; 0,005 và 0,006. Lấy ngẫu nhiên một chiếc giày từ lô hàng. Tìm xác suất để chiếc giày lấy ra bị hỏng.

Gọi

A

là sự kiện “lấy được giày hỏng”,

A_{i}

là sự kiện “lấy được giày của nhà máy

i

” (

i = 1, 2, 3

). Ta có

{A_{1}, A_{2}, A_{3}}

là hệ đầy đủ. Theo công thức trên, ta có:

\begin{aligned} P (A) & = P (A_{1}) . P (A | A_{1}) + P (A_{2}) . P (A | A_{2}) + P (A_{3}) . P (A | A_{3}) \\ = 0, 2.0, 001 + 0, 3.0, 005 + 0, 5.0, 006 = 0, 0065. \end{aligned}

Công thức Bayes

Hide

Theo định lý xác suất đầy đủ ta có: $P (A_{k} | B) = \frac{P (A_{k}) P (B | A_{k})}{P (B)} = \frac{P (A_{k}) P (B | A_{k})}{\sum_{i = 1}^{n} P (A_{i}) P (B | A_{i})}$ được gọi là công thức Bayes.

Ví dụ. Dây chuyền lắp ráp máy vô tuyến điện gồm các linh kiện là sản phẩm từ 2 nhà máy sản xuất ra. Số linh kiện nhà máy 1 sản xuất chiếm 55%, số linh kiện nhà máy 2 sản xuất chiếm 45%; tỷ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn của nhà máy 1 là 90%, nhà máy 2 là 87%. Lấy ngẫu nhiên ra 1 linh kiện từ dây chuyền lắp ráp đó ra kiểm tra thì được kết quả linh kiện đạt chuẩn. Tìm xác suất để linh kiện đó do nhà máy 1 sản xuất?

Gọi $A_{i} =$ “linh kiện do nhà máy thứ i sản xuất”, $i = 1, 2$ .

Gọi B = “linh kiện đạt chuẩn”, ta cần tìm $P (A_{1} | B)$ .

Ta có: $P (B) = P (A_{1}) P (B | A_{1}) + P (A_{2}) P (B | A_{2}) = 0, 55.0, 9 + 0, 45.0, 87 = 0, 8865.$ Và $P (A_{1} / B) = \frac{P (A_{1}) P (B | A_{1})}{P (B)} = \frac{0, 55.0, 9}{0, 8865} = 0, 5583.$

Công thức Bernoulli

Hide

Giả sử, xác suất để biến cố $A$ xảy ra trong mỗi phép thử là không đổi và bằng $p$ , xác suất để $A$ không xảy ra là bằng $1 - p = q$ . Khi đó ta đi tìm xác suất để trong $n$ phép thử đó biến cố $A$ xảy ra đúng $k$ lần là bao nhiêu?

Định lý Bernoully. Xác suất để trong $n$ phép thử độc lập, biến cố $A$ (có xác suất là $p$ ) xảy ra đúng $k$ lần là: $P_{n} (k; p) = C_{n}^{k} . p^{k} . q^{n - k} = C_{n}^{k} . p^{k} . (1 - p)^{n - k}, với k = 0, 1, 2, \dots, n .$

Ví dụ. Một chiến sĩ bắn 3 phát đạn vào cùng 1 bia mỗi lần bắn 1 phát, xác suất bắn trúng đích là 0,8. Tìm xác suất để trong 3 lần bắn đó có 2 phát bắn trúng bia?

Gọi $A =$ “bắn trúng bia” nên $P (A) = p = 0, 8$ và $q = 0, 2$ .

Gọi $B =$ “trong 3 lần bắn có 2 phát bắn trúng bia”, ta có: $P_{3} (2; 0, 8) = C_{3}^{2} . (0, 8)^{2} . (0, 2)^{3 - 2} = 0, 384.$