Giả sử BNN của tổng thể là $X ∼ N (µ; σ^2)$ và mẫu ngẫu nhiên $(X_1, · · · , X_n)$. Bài toán đặt ra là với mức ý nghĩa α cho trước hãy kiểm định giả thuyết $H_0 : µ = µ_0$ (với $µ_0$ cho trước).
Trường hợp 1. phương sai $σ^2$ đã biết

Bước 1: Lập mô hình bài toán: $\begin{cases} H_0: µ = µ_0 \\ H_1: µ \neq µ_0  \end{cases}$ hoặc $\begin{cases} H_0: µ = µ_0 \\ H_1: µ > µ_0  \end{cases}$ hoặc $\begin{cases} H_0: µ = µ_0 \\ H_1: µ < µ_0  \end{cases}$.

Bước 2. Tính $T=\frac{\overline{X}-µ_0}{σ}\sqrt{n}.$

Bước 3. Với mức ý nghĩa $α$ đã biết ta tìm được $U_{\frac{α}{2}}$ bằng cách tra bảng.

Bước 4. Kết luận: - Nếu $|T|>U_{\frac{α}{2}}$ thì bác bỏ $H_0$.

                              - Nếu $|T|<U_{\frac{α}{2}}$ thì chấp nhận $H_0$.

Ví dụ.

 Một hãng bảo hiểm thông báo “số tiền trung bình hãng chi trả cho khách hàng bị tai nạn ôtô là 170 triệu đồng”. Để kiểm tra lại, người ta kiểm tra ngẫu nhiên hồ sơ chi trả của 25 trường hợp thì thấy trung bình mẫu là 180 triệu đồng. Giả sử số tiền chi trả tuân theo luật phân phối chuẩn với σ = 50 triệu đồng, hãy kiểm định lại thông báo của hãng bảo hiểm trên với $α = 0, 05$.

Giải:

          Kích thước mẫu n = 25; phương sai đã biết $σ=50$. Gọi m trọng lượng trung bình của sản phẩm cần kiểm định. Đặt giả thiết bài toán kiểm định: $\begin{cases} H_0: µ = µ_0 =170\\ H_1: µ \neq µ_0 =170 \end{cases}$

Ta có: $T=\frac{180-170}{50}\sqrt{25}=1$

Với $α = 0, 05$ ta có: $U_{\frac{α}{2}}=1,96$

Vậy $|T|<U_{\frac{α}{2}}$  nên ta không có cơ sở để bác bỏ thông báo của hãng bảo hiểm.

Trường hợp 2. Trường hợp phương sai $σ^2$ chưa biết và kích thước mẫu $n ≥ 30$

Bước 1: Lập mô hình bài toán: $\begin{cases} H_0: µ = µ_0 \\ H_1: µ \neq µ_0  \end{cases}$ hoặc $\begin{cases} H_0: µ = µ_0 \\ H_1: µ > µ_0  \end{cases}$ hoặc $\begin{cases} H_0: µ = µ_0 \\ H_1: µ < µ_0  \end{cases}$.

Bước 2. Tính $T=\frac{\overline{X}-µ_0}{S}\sqrt{n}.$ Ta tìm $S^2$ từ mẫu cụ thể.

Bước 3. Với mức ý nghĩa $α$ đã biết ta tìm được $U_{\frac{α}{2}}$ bằng cách tra bảng.

Bước 4. Kết luận: - Nếu $|T|>U_{\frac{α}{2}}$ thì bác bỏ $H_0$.

                              - Nếu $|T|<U_{\frac{α}{2}}$ thì chấp nhận $H_0$.

Trường hợp 3.  phương sai $σ^2$ chưa biết và kích thước mẫu $n < 30.$

Bước 1: Lập mô hình bài toán: $\begin{cases} H_0: µ = µ_0 \\ H_1: µ \neq µ_0  \end{cases}$ hoặc $\begin{cases} H_0: µ = µ_0 \\ H_1: µ > µ_0  \end{cases}$ hoặc $\begin{cases} H_0: µ = µ_0 \\ H_1: µ < µ_0  \end{cases}$.

Bước 2. Tính $T_0=\frac{\overline{X}-µ_0}{S}\sqrt{n}.$ Ta tìm $S^2$ từ mẫu cụ thể.

Bước 3. Với mức ý nghĩa $α$ đã biết ta tìm được $T_{(\frac{α}{2}, n-1)}$ bằng cách tra bảng Student.

Bước 4. Kết luận: - Nếu $|T_0|>T_{(\frac{α}{2}, n-1)}$ thì bác bỏ $H_0$.

                              - Nếu $|T_0|<T_{(\frac{α}{2}, n-1)}$ thì chấp nhận $H_0$.

Ví dụ. Trọng lượng của bao gạo do nhà máy đưa ra thị trường là biến ngẫu nhiên X có qui luật phân phối chuẩn với trọng lượng trung bình quy định là 50 kg. Để kiểm tra trọng lượng có đúng như công bố của nhà máy hay không người ta cân thử 25 bao và tính được trọng lượng trung bình mẫu $\overline{X}=49,52kg$. Cho biết độ lệch quân phương $S=0,5$, và mức ý nghĩa $α=0,01$. Hãy đưa ra kết luận về tính xác thực  công bố của nhà máy.

Giải. - Bài toán $\begin{cases} H_0: µ = 50 \\ H_1: µ \neq 50  \end{cases}$

- Tính $T_0=\frac{49,52-50}{0,5}\sqrt{25}= -0,048.$

- $α=0,01$ đã biết ta tìm được $T_{(0,005, 24)}=2,797$ 

- $|T_0| = 0,048<T_{(0,005, 24)}=2,797$. Chấp nhận giả thuyết $H_0$