Xét ma trận vuông cấp $n$  $$A=\left[\begin{array}{cccccc} {a_{11} } & {a_{12} } & {\cdots } & {a_{1j} } & {\cdots } & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & {\cdots } & {a_{2j} } & {\cdots } & {a_{2n} } \\ {\vdots } & {\vdots } & {\ddots } & {\vdots } & {\ddots } & {\vdots } \\ {a_{i1} } & {a_{i2} } & {\cdots } & {a_{ij} } & {\cdots } & {a_{in} } \\ {\vdots } & {\vdots } & {\ddots } & {\vdots } & {\ddots } & {\vdots } \\ {a_{n1} } & {a_{n2} } & {\cdots } & {a_{nj} } & {\cdots } & {a_{nn} } \end{array}\right].$$Ma trận vuông cấp $n-1$ có được từ $A$ bằng cách bỏ đi hàng $i, (i=\overline{1,n})$, cột $j,(j=\overline{1,n})$  được gọi là ma trận con ứng với phần tử $a_{ij}$. Kí hiệu $M_{ij}$. 

Chẳng hạn $A=\left[\begin{array}{cc} {a_{11} } & {a_{12} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } \end{array}\right]$ có 4 ma trận con ứng với 4 phần tử $a_{ij} $ là: $M_{11} =\left[a_{22} \right],M_{12} =\left[a_{21} \right]$, $M_{21} =\left[a_{12} \right],M_{22} =\left[a_{11} \right]$

Hay $A=\left[\begin{array}{ccc} {a_{11} } & {a_{12} } & {a_{13} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & {a_{23} } \\ {a_{31} } & {a_{32} } & {a_{33} } \end{array}\right]$ có 9 ma trận con ứng với 9 phần tử là: $$M_{11} =\left[\begin{array}{cc} {a_{22} } & {a_{23} } \\ {a_{32} } & {a_{33} } \end{array}\right];\quad M_{12} =\left[\begin{array}{cc} {a_{21} } & {a_{23} } \\ {a_{31} } & {a_{33} } \end{array}\right];\quad M_{13} =\left[\begin{array}{cc} {a_{21} } & {a_{22} } \\ {a_{31} } & {a_{32} } \end{array}\right];$$ $$M_{21} =\left[\begin{array}{cc} {a_{12} } & {a_{13} } \\ {a_{32} } & {a_{33} } \end{array}\right];\quad M_{22} =\left[\begin{array}{cc} {a_{11} } & {a_{13} } \\ {a_{31} } & {a_{33} } \end{array}\right];\quad M_{23} =\left[\begin{array}{cc} {a_{11} } & {a_{12} } \\ {a_{31} } & {a_{32} } \end{array}\right];$$ $$M_{31} =\left[\begin{array}{cc} {a_{12} } & {a_{13} } \\ {a_{22} } & {a_{23} } \end{array}\right];\quad M_{32} =\left[\begin{array}{cc} {a_{11} } & {a_{13} } \\ {a_{21} } & {a_{23} } \end{array}\right];\quad M_{33} =\left[\begin{array}{cc} {a_{11} } & {a_{12} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } \end{array}\right].$$

Định thức của ma trận vuông $A$ là một số, kí hiệu $\det \left(A\right)$, được định nghĩa quy nạp như sau: 

•  $A$ là ma trận vuông cấp 1: $A=\left[a_{11} \right]$ thì $\det \left(A\right)=a_{11} $.
• $A$ là ma trận vuông cấp 2: $A=\left[\begin{array}{cc} {a_{11} } & {a_{12} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } \end{array}\right]$ thì $$\det \left(A\right)=a_{11} \det \left(M_{11} \right)- a_{12} \det \left(M_{12} \right)=a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} .$$
•  $A$ là ma trận vuông cấp 3: $A=\left[\begin{array}{ccc} {a_{11} } & {a_{12} } & {a_{13} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & {a_{23} } \\ {a_{31} } & {a_{32} } & {a_{33} } \end{array}\right]$ thì \begin{align}\det \left(A\right)&=a_{11} \det \left(M_{11} \right)- a_{12} \det \left(M_{12} \right)+a_{13} \det \left(M_{13} \right)\\&=a_{11} \left(a_{22} a_{33} - a_{32} a_{23} \right)\; - a_{12} \left(a_{21} a_{33} - a_{31} a_{23} \right)+a_{13} \left(a_{21} a_{32} - a_{31} a_{22} \right)\\&=a_{11} a_{22} a_{33} +a_{12} a_{31} a_{23} +a_{13} a_{21} a_{32} -\left(a_{13} a_{22} a_{31} +a_{11} a_{32} a_{23} +a_{12} a_{21} a_{33} \right).\end{align}
• $A$ là ma trận vuông cấp $n$:  $A=\left[\begin{array}{cccc} {a_{11} } & {a_{12} } & {\cdots } & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & {\cdots } & {a_{2n} } \\ {\vdots } & {\vdots } & {\ddots } & {\vdots } \\ {a_{n1} } & {a_{n2} } & {\cdots } & {a_{nn} } \end{array}\right]$ thì $$\det \left(A\right)=a_{11} \det \left(M_{11} \right)- a_{12} \det \left(M_{12} \right)+a_{13} \det \left(M_{13} \right)- \cdots +\left(-1\right)^{1+n} a_{1n} \det \left(M_{1n} \right).$$

Tính định thức của ma trận $A=\left[\begin{array}{cc} {1} & {-3} \\ {5} & {7} \end{array}\right]$.

1) Định thức của ma trận vuông cấp $n$ được gọi là định thức cấp $n$.

2) Thường dùng dấu $|\,|$ để kí hiệu cho định thức, chẳng hạn định thức của ma trận $A=\left[\begin{array}{cc} {a_{11} } & {a_{12} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } \end{array}\right]$ được kí hiệu $\left|\begin{array}{cc} {a_{11} } & {a_{12} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } \end{array}\right|$.

3) Quy tắc Sarrut  (chỉ áp dụng vào tính định thức cấp 3)

Cách nhớ 1: 

Ví dụ 2. Tính $\Delta =\left|\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {2} \\ {-1} & {-2} & {1} \\ {3} & {2} & {1} \end{array}\right|$

Hướng dẫn.

$\begin{array}{ccccc} {1} & {0} & {2} & {1} & {0} \\ {-1} & {-2} & {1} & {-1} & {-2} \\ {3} & {2} & {1} & {3} & {2} \end{array}$, $$\begin{align}\Delta&=-\left(2.\left(-2\right).3\right)-\left(1.1.2\right)-\left(0.\left(-1\right).1\right){\rm \; }+\left(1.\left(-2\right).1\right)+\left(0.1.3\right)+\left(2.\left(-1\right).2\right)\\&={\rm \; }12-2-0+\left(-2\right)+0+\left(-4\right)=4.\end{align}Vậy $\Delta =\left|\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {2} \\ {-1} & {-2} & {1} \\ {3} & {2} & {1} \end{array}\right|=4$.

Cách nhớ thứ hai:

 Dấu "+" trước 3 tích sau: Tích 3 phần tử nằm trên đường chéo chính, tích 3 phần tử là 3 đỉnh của 1 tam giác có 1 cạnh song song với đường chéo chính (không có 2 phần tử nào cùng hàng, cùng cột). 

Dấu "-" trước 3 tích sau: Tích 3 phần tử nằm trên đường chéo phụ, tích 3 phần tử là 3 đỉnh của 1 tam giác có 1 cạnh song song với đường chéo phụ (không có 2 phần tử nào cùng hàng, cùng cột).

Ví dụ 3. Tính $\left|\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {2} \\ {-1} & {-2} & {1} \\ {3} & {2} & {1} \end{array}\right|$

Giải. $$\left|\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {2} \\ {-1} & {-2} & {1} \\ {3} & {2} & {1} \end{array}\right|=1.\left(-2\right).1+0.1.3+2.\left(-1\right).2-2\left(-2\right).3-\left(-1\right).0.1-1.1.2=4.$$