Các phương pháp tính Định thức nêu trên có những hạn chế nhất định. Việc nắm vững các tính chất của định thức giúp chúng ta tính định thức nhanh chóng. Một phương pháp tính định thức hiệu quả dựa trên những tính chất đó là Biến đổi sơ cấp.
Môn: Đại số tuyến tính
3.3. Giải hệ PTTT bằng phương pháp Gauss
Định lý Kronecker - Capelli
Xét hệ $$\left\{\begin{array}{ccccccccc} {a_{11} x_{1} } & {+} & {a_{12} x_{2} } & {+} & {\cdots } & {+} & {a_{1n} x_{n} } & {=} & {b_{1} } \\ {a_{21} x_{1} } & {+} & {a_{22} x_{2} } & {+} & {\cdots } & {+} & {a_{2n} x_{n} } & {=} & {b_{2} } \\ {\vdots } & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {\vdots } \\ {a_{m1} x_{1} } & {+} & {a_{m2} x_{2} } & {+} & {\cdots } & {+} & {a_{mn} x_{n} } & {=} & {b_{m} } \end{array}\right.\label{3.3.1.1}\tag{1}$$Hệ \eqref{3.3.1.1} có nghiệm khi và chỉ khi $r\left(A\right)=r(\bar{A})$.
Hệ quả
Nếu $r\left(A\right)\ne r(\bar{A})\; $ thì hệ \eqref{3.3.1.1} vô nghiệm.
Nếu $r\left(A\right)=r(\bar{A})\; =n$ thì hệ \eqref{3.3.1.1} có nghiệm duy nhất.
Nếu $r\left(A\right)=r(\bar{A})\; <n$ thì \eqref{3.3.1.1} có vô số nghiệm.
Ví dụ 10
Hệ $\left\{\begin{array}{ccccc} {x_{1} } & {+} & {2x_{2} } & {=} & {5} \\ {-3x_{1} } & {+} & {x_{2} } & {=} & {-1} \end{array}\right. $ có nghiệm duy nhất.
Hãy tìm hạng của ma trận liên kết và ma trận đầy đủ và áp dụng định lý Kronecker-Capelli để kết luận bài toán (nếu biến đổi về hàng thì chỉ cần xét ma trận đầy đủ).
Ta có:$\bar{A}=\left[\begin{matrix}{1}&{2}\\{-3}& {1}\\\end{matrix}\right.\left|\begin{matrix}5\\-1\\\end{matrix}\right]\stackrel{h_{2} +3h_{1} \to h_{2} }{\longrightarrow}\left[\begin{matrix} {1} & {2}\\ {0} & {7}\\\end{matrix}\right.\left|\begin{matrix}5\\15\\\end{matrix}\right]$
$\Rightarrow r(A)=r(\bar{A})=2.$ Vậy, hệ đã cho có duy nhất nghiệm.
Ví dụ 11
|
Tương tự, với hệ $\left\{\begin{array}{ccccccccc} {x_{1} } & {+} & {3x_{2} } & {-} & {2x_{3} } & {+} & {x_{4} } & {=} & {1} \\ {x_{1} } & {+} & {3x_{2} } & {-} & {x_{3} } & {+} & {3x_{4} } & {=} & {3} \\ {x_{1} } & {+} & {3x_{2} } & {-} & {3x_{3} } & {-} & {x_{4} } & {=} & {-1} \end{array}\right. $, ta có \begin{align}\bar{A}&=\left[\begin{matrix}1&3&-2&1\\1&3&-1&3\\1&3&-3&-1\\\end{matrix}\right.\left|\begin{matrix}1\\3\\2\\\end{matrix}\right]\stackrel{\begin{array}{l} {h_{2} -h_{1} \to h_{2} } \\ {h_{3} -h_{1} \to h_{3} } \end{array}}{\longrightarrow}\left[\begin{matrix}1&3&-2&1\\0&0&1&2\\0&0&-1&-2\\\end{matrix}\right.\left|\begin{matrix}1\\2\\1\\\end{matrix}\right]\\ Vậy hệ có vô số nghiệm. |
|
Ví dụ 12
Với hệ $\left\{\begin{array}{ccccccccccc} {x_{1} } & {+} & {3x_{2} } & {-} & {2x_{3} } & {+} & {x_{4} } & {+} & {x_{5} } & {=} & {1} \\ {x_{1} } & {+} & {3x_{2} } & {-} & {x_{3} } & {+} & {3x_{4} } & {+} & {2x_{5} } & {=} & {3} \\ {x_{1} } & {+} & {3x_{2} } & {-} & {3x_{3} } & {-} & {x_{4} } & {} & {} & {=} & {2} \end{array}\right. $
Ta có: $\bar{A}=\left[\begin{matrix} {1} & {3} & {-2} & {1} & {1}\\ {1} & {3} & {-1} & {3} & {2}\\ {1} & {3} & {-3} & {-1} & {0}\end{matrix}\right.\left|\begin{matrix}1\\3\\2\\\end{matrix}\right]\stackrel{\begin{array}{l} {h_{2} -h_{1} \to h_{2} } \\ {h_{3} -h_{1} \to h_{3} } \end{array}}{\longrightarrow}\left[\begin{matrix} {1} & {3} & {-2} & {1} & {1}\\ {0} & {0} & {1} & {2} & {1}\\ {0} & {0} & {-1} & {-2} & {-1}\end{matrix}\right.\left|\begin{matrix}1\\2\\1\\\end{matrix}\right]{\rm \; }\stackrel{h_{3} +h_{2} \to h_{3} }{\longrightarrow}\left[\begin{matrix} {1} & {3} & {-2} & {1} & {1}\\ {0} & {0} & {1} & {2} & {1}\\ {0} & {0} & {0} & {0} & {0}\end{matrix}\right.\left|\begin{matrix}1\\2\\3\\\end{matrix}\right]$
Nhận xét $r(A)=2{\rm \; \; }\ne {\rm \; \; }r(\bar{A}){\rm \; }=3$.
Vậy hệ đã cho vô nghiệm.
Xét hệ $$\left\{\begin{array}{ccccccccc} {a_{11} x_{1} } & {+} & {a_{12} x_{2} } & {+} & {\cdots } & {+} & {a_{1n} x_{n} } & {=} & {b_{1} } \\ {a_{21} x_{1} } & {+} & {a_{22} x_{2} } & {+} & {\cdots } & {+} & {a_{2n} x_{n} } & {=} & {b_{2} } \\ {\vdots } & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {\vdots } \\ {a_{m1} x_{1} } & {+} & {a_{m2} x_{2} } & {+} & {\cdots } & {+} & {a_{mn} x_{n} } & {=} & {b_{m} } \end{array}\right.\label{3.3.2.1}\tag{1}$$
Ma trận đầy đủ của hệ \eqref{3.3.2.1} là $\bar{A}=\left[\begin{matrix} {a_{11} } & {a_{12} } & {\cdots } & {a_{1n} }\\ {a_{21} } & {a_{22} } & {\cdots } & {a_{2n} }\\{\vdots } & {\vdots } & {\ddots } & {\vdots }\\{a_{m1} } & {a_{m2} } & {\cdots } & {a_{mn} }\\\end{matrix}\right.\,\left|\,\begin{matrix}{b_{1} }\\{b_{2} }\\{\vdots }\\{b{}_{m} }\\\end{matrix}\right]$.
Nhận xét
1) Cho hệ \eqref{3.3.2.1} ta sẽ lập được ma trận đầy đủ của nó, ngược lại cho ma trận đủ $\bar{A}$ ta luôn dựng lại được hệ phương trình tuyến tính nhận ma trận $\bar{A}$ đó làm ma trận đầy đủ. Nếu $\bar{A}$ có dạng đặc biệt (tam giác trên, hình thang) thì hệ phương trình tương ứng giải sẽ rất đơn giản (suy từ dưới lên).
2) Khi ta nhân một hàng của $\bar{A}$ với một số $k\neq$0 (áp dụng phép biến đổi sơ cấp 1) cũng chính là khi ta nhân một phương trình tương ứng trong hệ \eqref{3.3.2.1} với với số $k\neq$0, phép toán này không làm thay đổi tập nghiệm của hệ \eqref{3.3.2.1}.
Khi ta đổi chỗ hai hàng trong $\bar{A}$ (áp dụng phép biến đổi sơ cấp 2) cũng chính là khi ta đổi vị trí hai phương trình tương ứng trong hệ \eqref{3.3.2.1}, phép toán này cũng không làm thay đổi tập nghiệm của hệ \eqref{3.3.2.1}.
Khi ta cộng bội $k$ của một hàng vào một hàng khác trong $\bar{A}$ (áp dụng phép biến đổi sơ cấp 3) cũng chính là khi ta cộng bội $k$ của một phương trình vào một phương trình khác tương ứng trong hệ \eqref{3.3.2.1}, phép toán này cũng không làm thay đổi tập nghiệm của hệ \eqref{3.3.2.1}
Nói cách khác, việc ta dùng các phép BĐSC (về hàng) trên $\bar{A}$ cũng chính là ta đã thực hiện các phép BĐSC đối với hệ \eqref{3.3.2.1}. Đưa $\bar{A}$ về dạng bậc thang đồng nghĩa với ta đã biến đổi tương đương hệ \eqref{3.3.2.1} để đưa về hệ tương đương đơn giản mà ta dễ dàng suy ra nghiệm.
Vậy, nếu ma trận đầy đủ của hệ đã cho chưa có dạng bậc thang (hoặc ma trận tam giác trên) thì ta sẽ biến đổi để đưa nó về dạng bậc thang (hoặc ma trận tam giác trên) bằng cách sử dụng các phép BĐSC về hàng, sau đó dựng hệ mới có ma trận đầy đủ là ma trận bậc thang vừa tìm được. Giải hệ mới để có nghiệm của hệ đã cho.
Phương pháp vừa trình bày ở trên là phương pháp dùng các phép BĐSC hay còn gọi là phương pháp trụ xoay của Gauss.
Ví dụ 13
Giải hệ $\left\{\begin{array}{ccccc} {40x} & {+} & {60y} & {=} & {560} \\ {4x} & {-} & {3y} & {=} & {2} \end{array}\right. $
Ta có \[\bar{A}=\left[\begin{matrix} {40} & {60}\\ {4} & {-3}\end{matrix}\,\right.\left|\,\begin{matrix}560\\2\\\end{matrix}\right]\stackrel{\frac{1}{10} h_{1} \to h_{1} }{\longrightarrow}\left[\begin{matrix} {4} & {6}\\ {4} & {-3}\end{matrix}\,\right.\left|\,\begin{matrix}56\\2\\\end{matrix}\right]\stackrel{h_{2} -h_{1} \to h_{2} }{\longrightarrow}\left[\begin{matrix} {4} & {6}\\ {0} & {-9}\end{matrix}\,\right.\left|\,\begin{matrix}56\\-54\\\end{matrix}\right]\stackrel{-\frac{1}{9} h_{2} \to h_{2} }{\longrightarrow}\left[\begin{matrix} {4} & {6}\\ {0} & {1}\end{matrix}\,\right.\left|\,\begin{matrix}56\\6\\\end{matrix}\right].\] Như vậy, $\left\{\begin{array}{ccccc} {40x} & {+} & {60y} & {=} & {560} \\ {4x} & {-} & {3y} & {=} & {2} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccccc} {4x} & {+} & {6y} & {=} & {56} \\ {} & {} & {y} & {=} & {6} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {x=5} \\ {y=6} \end{array}\right. $
Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(5;6)$.
Ví dụ 14
Giải hệ $\left\{\begin{array}{ccccccc} {x_{1} } & {+} & {x_{2} } & {+} & {x_{3} } & {=} & {6} \\ {2x_{1} } & {+} & {2x_{2} } & {-} & {x_{3} } & {=} & {3} \end{array}\right. $
|
Tương tự Ví dụ 13 đưa $\bar{A}$ về dạng bậc thang, $\bar{A}=\left[\begin{matrix} {1} & {1} & {1}\\ {2} & {2} & {-1}\\\end{matrix}\,\right.\left|\,\begin{matrix}6\\3\\\end{matrix}\right]\stackrel{h_{2} -2h_{1} \to h_{2} }{\longrightarrow}\left[\begin{matrix} {1} & {1} & {1}\\ {0} & {0} & {-3}\end{matrix}\,\right.\left|\,\begin{matrix}6\\-9\\\end{matrix}\right]$. Ta có $\left\{\begin{array}{ccccccc} {x_{1} } & {+} & {x_{2} } & {+} & {x_{3} } & {=} & {6} \\ {2x_{1} } & {+} & {2x_{2} } & {-} & {x_{3} } & {=} & {3} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccccccc} {x_{1} } & {+} & {x_{2} } & {+} & {x_{3} } & {=} & {6} \\ {} & {} & {} & {-} & {3x_{3} } & {=} & {-9} \end{array}\right. $ Vậy hệ có nghiệm $\left\{\begin{array}{l} {x_{1} =3-x_{2} } \\ {x_{2} \in \mathbb{R}} \\ {x_{3} =3} \end{array}\right. $ (trùng với kết quả trong ví dụ 9). |
