4.2. Định nghĩa ánh xạ tuyến tính

Định nghĩa

Cho hai KGVT $V$ và $W$ trên trường số thực $\mathbb{R}$. Ánh xạ $f:V\to W$ được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu thỏa mãn hai tính chất sau:

$f(u+v)=f(u)+f(v)$, $\forall u,v\in V$.
$f(ku)=kf(u)$, $\forall u\in V,\ \ \forall k\in \mathbb{R}$.

Chú ý

Một ánh xạ tuyến tính còn được gọi là một đồng cấu.

Nếu $W$ $\equiv V$ thì ánh xạ tuyến tính $f:V\to V$ được gọi là một phép tự đồng cấu của $V$ hay một phép biến đổi tuyến tính trên $V$ hay một toán tử tuyến tính trong $V$ .
Nếu $V$ $\equiv \mathbb{R}$ thì ánh xạ tuyến tính $f:\mathbb{R}\to W$ được gọi là một dạng tuyến tính trên $V$.
Nếu $f:V\to W$ là ánh xạ tuyến tính và là song ánh thì ta có một phép đẳng cấu của $V$ trên $W$. Nếu $f:V\to V$ là toán tử tuyến tính và là song ánh thì ta có một phép tự đẳng cấu trên $V$.

Chú ý:

Muốn cho $f:V\to W$ là ánh xạ tuyến tính thì điều kiện ắt có và đủ là: $$f\left(k_1u+k_2v\right)=k_1f\left(u\right)+k_2f\left(v\right), \forall u,v\in V,\ \ \forall k_1,k_2\in \mathbb{R}.\tag{4.1}\label{h1}$$
Trong điều kiện ii. nếu $k=0$ thì ta luôn có $f\left(\theta_V\right)=\theta_W$ ($\theta_V, \theta_W$ lần lượt là các véctơ không của KGVT $V$ và $W$).
Nếu $f:V\to W$ là ánh xạ tuyến tính thì $$f\left(\sum\limits^n_{i=1}{k_i}v_i\right)=\sum\limits^n_{i=1}{k_i}{f(v}_i), \,\forall k_i\in \mathbb{R}, \forall v_i\in V.$$

Ví dụ 1

Cho hai không gian vector $V$ và $W$ trên trường số thực $\mathbb{R}$. Khi đó, ánh xạ $f:V\to W$ xác định bởi $f\left(v\right)=\theta \in W,\forall v\in V$ là ánh xạ tuyến tính.

Ta lần lượt chứng minh $f$ thỏa mãn đồng thời 2 tính chất i. và ii. hoặc chứng minh $f$ thỏa mãn \eqref{h1}.

Thật vậy, với $u,v\in V, k\in \mathbb{R}$, ta có $u+v\in V, ku\in V$. Hơn nữa \begin{align}&f\left(u+v\right)=\theta =\theta +\theta =f\left(u\right)+f\left(v\right),\\&f\left(ku\right)=\theta =k.\theta =kf\left(u\right).\end{align} Vậy, ánh xạ $f:V\to W$ xác định bởi $f\left(v\right)=\theta$ là ánh xạ tuyến tính (ánh xạ không).

Ví dụ 2

Cho KGVT $V$ trên trường số thực $\mathbb{R}$. Chứng minh ánh xạ $f:V\to V$ xác định bởi $f\left(v\right)=v, \forall v\in V$ là toán tử tuyến tính trong $V$.

Tương tự Ví dụ 1, ta lần lượt chứng minh $f$ thỏa mãn đồng thời 2 tính chất i. và ii. hoặc chứng minh $f$ thỏa mãn \eqref{h1}.

Thật vậy, với $u,v\in V, k\in \mathbb{R}$, ta có $u+v\in V, ku\in V$. Hơn nữa, \begin{align}&f\left(u+v\right)=u+v=f\left(u\right)+f\left(v\right),\\&f\left(ku\right)=ku=kf\left(u\right).\end{align} Vậy, ánh xạ $f:V\to W$ xác định bởi $f\left(v\right)=v$ là ánh xạ tuyến tính (toán tử tuyến tính trong $V$).

Ví dụ 3

Cho hai KGVT $\mathbb{R}^{3},\mathbb{R}^{2}$ trên trường số thực $\mathbb{R}$. Chứng minh, ánh xạ $f:\mathbb{R}^{3}\to \mathbb{R}^{2}$ xác định bởi $f\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left({2x}_1-x_2+3x_3,-{2x}_2+x_3\right)$ là ánh xạ tuyến tính.

Tương tự Ví dụ 1 và Ví dụ 2, ta lần lượt chứng minh $f$ thỏa mãn đồng thời 2 tính chất i. và ii. hoặc chứng minh $f$ thỏa mãn \eqref{h1}.

Thật vậy, với $u=\left(x_1,x_2,x_3\right),v=\left(y_1,y_2,y_3\right)\in \mathbb{R}^3, k\in \mathbb{R}$, ta có $u+v=\left(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3\right)\in \mathbb{R}^3$ và $ku=\left({kx}_1,{kx}_2,{kx}_3\right)\in \mathbb{R}^3$. Hơn nữa \begin{align}f\left(u+v\right)&=f\left(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3\right)=\Big(2(x_1+y_1)-(x_2+y_2)+3(x_3+y_3),-2(x_2+y_2)+(x_3+y_3)\Big)\\&=(2x_1+{2y}_1{-x}_2-y_2+3x_3+3y_3,{-2x}_2-2y_2+x_3+y_3)\\&=\left(2x_1{-x}_2+3x_3,{-2x}_2+x_3\right){+(2y}_1-y_2+3y_3,-2y_2+y_3)=f\left(u\right)+f\left(v\right).\end{align} và \begin{align}f\left(ku\right)&=f\left({kx}_1,{kx}_2,{kx}_3\right)=\left({2(kx}_1)-kx_2+3{(kx}_3),-{2(kx}_2)+{kx}_3\right)\\&=\left({k(2x}_1)+k(-x_2)+k{(3x}_3),k{(-2x}_2)+{kx}_3\right)=k\left({2x}_1-x_2+3x_3,-{2x}_2+x_3\right)=kf\left(u\right).\end{align}

Ví dụ 4

Cho KGVT $\mathbb{R}^2$ trên trường số thực $\mathbb{R}$. Chứng minh ánh xạ $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ xác định bởi $f\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(x_1-x_2,x_1x_2\right)$ không là ánh xạ tuyến tính.

Ta chỉ cần chứng minh $f$ không thỏa mãn 1 trong 2 tính chất i. hoặc ii. hoặc chứng minh $f$ không thỏa mãn \eqref{h1}.

Thật vậy, với $u=\left(x_1,x_2\right),v=\left(y_1,y_2\right)\in \mathbb{R}^2$, ta có $u+v=\left(x_1+y_1,x_2+y_2\right)\in\mathbb{R}^2$. Hơn nữa \begin{align}f\left(u+v\right)&=f\left(x_1+y_1,x_2+y_2\right)=\left({(x}_1+y_1)-\left(x_2+y_2\right),(x_1+y_1)\left(x_2+y_2\right)\right)\\&=\left(x_1+y_1-x_2-y_2,x_1x_2+y_1y_2+x_1y_2+y_1x_2\right).\end{align} Mặt khác, \begin{align}f\left(u\right)+f\left(v\right)&=\left(x_1-x_2,x_1x_2\right)+\left(y_1-y_2,y_1y_2\right)\\&=\left(x_1+y_1-x_2-y_2,x_1x_2+y_1y_2\right)\neq \ f\left(u+v\right).\end{align} Tính chất i. không thỏa mãn. Vậy, $f$ không là ánh xạ tuyến tính.

Định lí

Cho hai KGVT $V$ và $W$ trên trường số thực $\mathbb R$. Ánh xạ $f:V\to W$ là ánh xạ tuyến tính. Khi đó:

$f\left(\theta \right)=\theta $.
$f\left(-v\right)=-f\left(v\right)$.
$f\left(u-v\right)=f(u)-f\left(v\right)$.