Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất $$\left\{\begin{array}{ccccccccc} {a_{11} x_{1} } & {+} & {a_{12} x_{2} } & {+} & {\cdots } & {+} & {a_{1n} x_{n} } & {=} & {0} \\ {a_{21} x_{1} } & {+} & {a_{22} x_{2} } & {+} & {\cdots } & {+} & {a_{2n} x_{n} } & {=} & {0} \\ {\vdots } & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {\vdots } \\ {a_{m1} x_{1} } & {+} & {a_{m2} x_{2} } & {+} & {\cdots } & {+} & {a_{mn} x_{n} } & {=} & {0} \end{array}\right.\label{3.4.3}\tag{3}$$ Ta có, dạng ma trận của hệ \eqref{3.4.3} là $A.x={\rm \; }0$.
Môn: Đại số tuyến tính
3.4. Hệ PTTT thuần nhất
Nhận xét
1) Dễ thấy $r(A)={\rm \; \; }r(\bar{A})$ nên hệ \eqref{3.4.3} luôn có nghiệm.
2) Nếu \eqref{3.4.3} có nghiệm $\left(x_{1} ,x_{2} ,...{\rm \; },x_{n} \right)$ thì $(\lambda x_{1} ,\lambda x_{2} ,...{\rm \; },\lambda x_{n} ),\lambda \in \mathbb{R}$ cũng là nghiệm của \eqref{3.4.3}.
3) Dễ thấy \eqref{3.4.3} luôn có nghiệm $\left(0,0,\ldots ,0\right)$ gọi là nghiệm không (hay nghiệm tầm thường). Nghiệm khác nghiệm không được gọi là nghiệm không tầm thường.
4) Nếu \eqref{3.4.3} có số phương trình bằng số ẩn và $\det \left(A\right)=0$ thì \eqref{3.4.3} có nghiệm không tầm thường (tồn tại nghiệm khác không).
Nếu \eqref{3.4.3} có số phương trình bằng số ẩn và $\det \left(A\right)\ne 0$ thì \eqref{3.4.3} chỉ có duy nhất nghiệm không.
5) Nếu \eqref{3.4.3} có số phương trình ít hơn số ẩn thì \eqref{3.4.3} luôn có nghiệm không tầm thường (có vô số nghiệm).
Trường hợp đặc biệt $r(A)=r(\bar{A})=m=n-1$, hệ có dạng $$\left\{\begin{array}{ccccccccc} {a_{11} x_{1} } & {+} & {a_{12} x_{2} } & {+} & {\cdots } & {+} & {a_{1(m+1)} x_{m+1} } & {=} & {0} \\ {a_{21} x_{1} } & {+} & {a_{22} x_{2} } & {+} & {\cdots } & {+} & {a_{2(m+1)} x_{m+1} } & {=} & {0} \\ {\vdots } & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {\vdots } \\ {a_{m1} x_{1} } & {+} & {a_{m2} x_{2} } & {+} & {\cdots } & {+} & {a_{m(m+1)} x_{m+1} } & {=} & {0} \end{array}\right. $$ Hệ có vô số nghiệm dạng $\left(C_{1} t,C_{2} t,\ldots ,C_{m} {}_{+1} t\right),t\in \mathbb R$ với $C_{i} ={\rm \; }\left(-1\right)^{i+j} \det \left(M_{i} \right)$, trong đó $M_{i} $ là ma trận con ứng với phần tử $t_{i} $ trong ma trận sau đây:$$\left[\begin{array}{ccccc} {a_{11} } & {a_{12} } & {\cdots } & {a_{1m} } & {a_{1(m+1)} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & {\cdots } & {a_{2m} } & {a_{2(m+1)} } \\ {\vdots } & {\vdots } & {\ddots } & {\vdots } & {\vdots } \\ {a_{m1} } & {a_{m2} } & {\cdots } & {a_{mm} } & {a_{m(m+1)} } \\ {t_{1} } & {t_{2} } & {\cdots } & {t_{m} } & {t_{m+1} } \end{array}\right].$$
Ví dụ 15
Giải hệ $\left\{\begin{array}{ccccc} {x} & {-} & {2y} & {=} & {0} \\ {2x} & {-} & {y} & {=} & {0} \end{array}\right. $.
Ta có $\det (A)=\left|\begin{array}{cc} {1} & {-2} \\ {2} & {-1} \end{array}\right|=3\ne 0$.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(0;0)$.
Ví dụ 16
Giải hệ $\left\{\begin{array}{ccccc} {x} & {-} & {2y} & {=} & {0} \\ {-2x} & {+} & {4y} & {=} & {0} \end{array}\right. $.
Ta có $\det (A)=\left|\begin{array}{cc} {1} & {-2} \\ {-2} & {4} \end{array}\right|=0$ $\Rightarrow$ hệ có vô số nghiệm \[\bar{A}=\left[\begin{matrix} {1} & {-2}\\ {-2} & {4}\\\end{matrix}\,\right.\left|\,\begin{matrix}0\\0\\\end{matrix}\right]\stackrel{h_{2} +2h_{1} \to h_{2} }{\longrightarrow}\left[\begin{matrix} {1} & {-2}\\ {0} & {0}\\\end{matrix}\,\right.\left|\,\begin{matrix}0\\0\\\end{matrix}\right]\]\[\left\{\begin{array}{ccccc} {x} & {-} & {2y} & {=} & {0} \\ {-2x} & {+} & {4y} & {=} & {0} \end{array}\right. \Leftrightarrow x-2y=0\Rightarrow x=2y\] Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm $(2t,t),{\rm \; }t\in \mathbb{R}$.
Ví dụ 17
Giải hệ $\left\{\begin{array}{ccccccc} {x_{1} } & {+} & {x_{2} } & {+} & {x_{3} } & {=} & {0} \\ {2x_{1} } & {+} & {x_{2} } & {-} & {x_{3} } & {=} & {0} \end{array}\right. $.
Hệ có số phương trình ít hơn số ẩn, luôn có vô số nghiệm. Ta có, $\bar{A}=\left[\begin{matrix} {1} & {1} & {1}\\ {2} & {1} & {-1}\\\end{matrix}\,\right.\left|\,\begin{matrix}0\\0\\\end{matrix}\right]\stackrel{h_{2} -2h_{1} \to h_{2} }{\longrightarrow}\left[\begin{matrix} {1} & {1} & {1}\\ {0} & {-1} & {-3}\\\end{matrix}\,\right.\left|\,\begin{matrix}0\\0\\\end{matrix}\right]$ \[\left\{\begin{array}{ccccccc} {x_{1} } & {+} & {x_{2} } & {+} & {x_{3} } & {=} & {0} \\ {2x_{1} } & {+} & {x_{2} } & {-} & {x_{3} } & {=} & {0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccccccc} {x_{1} } & {+} & {x_{2} } & {+} & {x_{3} } & {=} & {0} \\ {} & {} & {-x_{2} } & {-} & {3x_{3} } & {=} & {0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {x_{2} =-3x_{3} } \\ {x_{1} =2x_{3} } \end{array}\right. \] Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm $\left(2t,-3t,t\right){\rm ,\; }t\in \mathbb{R}$.
Ví dụ 18
Giải hệ $\left\{\begin{array}{ccccc} {x_{1} } & {+} & {3x_{2} } & {=} & {0} \\ {5x_{1} } & {-} & {4x_{2} } & {=} & {0} \\ {x_{1} } & {-} & {x_{2} } & {=} & {0} \end{array}\right. $.
Giải tương tự các ví dụ trên. \[\bar{A}=\left[\begin{matrix} {1} & {3}\\ {5} & {-4}\\ {1} & {-1}\\\end{matrix}\,\right.\left|\,\begin{matrix}0\\0\\0\\\end{matrix}\right]\stackrel{\begin{array}{l} {h_{2} -5h_{1} \to h_{2} } \\ {h_{3} -h_{1} \to h_{3} } \end{array}}{\longrightarrow}\left[\begin{matrix} {1} & {3}\\ {0} & {-19} &\\ {0} & {-4}\\\end{matrix}\,\right.\left|\,\begin{matrix}0\\0\\0\\\end{matrix}\right]\stackrel{19h_{3} -4h_{2} \to h_{3} }{\longrightarrow}\left[\begin{matrix} {1} & {3}\\ {0} & {-19}\\ {0} & {0}\end{matrix}\,\right.\left|\,\begin{matrix}0\\0\\0\\\end{matrix}\right]\]\[\left\{\begin{array}{ccccc} {x_{1} } & {+} & {3x_{2} } & {=} & {0} \\ {5x_{1} } & {-} & {4x_{2} } & {=} & {0} \\ {x_{1} } & {-} & {x_{2} } & {=} & {0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccccc} {x_{1} } & {+} & {3x_{2} } & {=} & {0} \\ {} & {} & {-19x_{2} } & {=} & {0} \end{array}\right. \Rightarrow x_{1} =x_{2} =0\] Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(0;0)$.
Ví dụ 19
Giải hệ $\left\{\begin{array}{ccccccc} {2x_{1} } & {+} & {x_{2} } & {-} & {4x_{3} } & {=} & {0} \\ {x_{1} } & {+} & {5x_{2} } & {-} & {7x_{3} } & {=} & {0} \\ {x_{1} } & {-} & {5x_{2} } & {-} & {6x_{3} } & {=} & {0} \end{array}\right. $.
Giải tương tự các ví dụ trên. Ta có, $\det (A)=\left|\begin{array}{ccc} {2} & {1} & {-4} \\ {3} & {5} & {-7} \\ {4} & {-5} & {-6} \end{array}\right|=0$ $\Rightarrow$ hệ có vô số nghiệm. \[\left[\begin{matrix} {2} & {1} & {-4} \\ {3} & {5} & {-7}\\ {4} & {-5} & {-6}\\\end{matrix}\,\right.\left|\,\begin{matrix}0\\0\\0\\\end{matrix}\right]\stackrel{\begin{array}{l} {2h_{2} -3h_{1} \to h_{2} } \\ {h_{3} -2h_{1} \to h_{3} } \end{array}}{\longrightarrow}\left[\begin{matrix} {2} & {1} & {-4}\\ {0} & {7} & {-2}\\ {0} & {-7} & {2}\\\end{matrix}\,\right.\left|\,\begin{matrix}0\\0\\0\\\end{matrix}\right]\stackrel{h_{3} +h_{2} \to h_{3} }{\longrightarrow}\left[\begin{matrix} {2} & {1} & {-4}\\ {0} & {7} & {-2}\\ {0} & {0} & {0}\\\end{matrix}\,\right.\left|\,\begin{matrix}0\\0\\0\\\end{matrix}\right]\] Hệ đã cho tương đương với $\left\{\begin{array}{ccccccc} {2x_{1} } & {+} & {x_{2} } & {-} & {4x_{3} } & {=} & {0} \\ {} & {} & {7x_{2} } & {-} & {2x_{3} } & {=} & {0} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {x_{1} =\dfrac{13}{2} x_{2} } \\ {x_{2} \in \mathbb{R}} \\ {x_{3} =\dfrac{7}{2} x_{2} } \end{array}\right.$.
Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm $\left(\dfrac{13}{2} t,t,\dfrac{7}{2} t\right);{\rm \; }t\in \mathbb{R}$
Ví dụ 20
Giải hệ $\left\{\begin{array}{ccccccc} {3x_{1} } & {-} & {4x_{2} } & {+} & {5x_{3} } & {=} & {0} \\ {2x_{1} } & {-} & {3x_{2} } & {+} & {x_{3} } & {=} & {0} \\ {3x_{1} } & {-} & {5x_{2} } & {-} & {x_{3} } & {=} & {0} \end{array}\right. $.
Giải tương tự Ví dụ 15. Ta có, $\det (A)=\left|\begin{array}{ccc} {3} & {-4} & {5} \\ {2} & {-3} & {1} \\ {3} & {-5} & {-1} \end{array}\right|=-1\ne {\rm \; }0$. Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(0;0)$
Ví dụ 21
Giải hệ $\left\{\begin{array}{ccccccccc} {x_{1} } & {+} & {3x_{2} } & {-} & {2x_{3} } & {+} & {x_{4} } & {=} & {0} \\ {x_{1} } & {+} & {3x_{2} } & {-} & {x_{3} } & {+} & {3x_{4} } & {=} & {0} \\ {x_{1} } & {+} & {3x_{2} } & {-} & {3x_{3} } & {-} & {2x_{4} } & {=} & {0} \end{array}\right.$.
Giải tương tự Ví dụ 17. Hệ có số phương trình ít hơn số ẩn nên luôn có vô số nghiệm. \[\bar{A}=\left[\begin{matrix} {1} & {3} & {-2} & {1}\\ {1} & {3} & {-1} & {3}\\ {1} & {3} & {-3} & {-2}\\\end{matrix}\,\right.\left|\,\begin{matrix}0\\0\\0\\\end{matrix}\right]\stackrel{\begin{array}{l} {h_{2} -h_{1} \to h_{2} } \\ {h_{3} -h_{1} \to h_{3} } \end{array}}{\longrightarrow}\left[\begin{matrix} {1} & {3} & {-2} & {1}\\ {0} & {0} & {1} & {2}\\ {0} & {0} & {-1} & {-3}\\\end{matrix}\,\right.\left|\,\begin{matrix}0\\0\\0\\\end{matrix}\right]\stackrel{h_{3} +h_{2} \to h_{3} }{\longrightarrow}\left[\begin{matrix} {1} & {3} & {-2} & {1}\\ {0} & {0} & {1} & {2}\\ {0} & {0} & {0} & {-1}\\\end{matrix}\,\right.\left|\,\begin{matrix}0\\0\\0\\\end{matrix}\right]\] Hệ đã cho tương đương với hệ $\left\{\begin{array}{ccccccccc} {x_{1} } & {+} & {3x_{2} } & {-} & {2x_{3} } & {+} & {x_{4} } & {=} & {0} \\ {} & {} & {} & {} & {x_{3} } & {+} & {2x_{4} } & {=} & {0} \\ {} & {} & {} & {} & {} & {-} & {x_{4} } & {=} & {0} \end{array}\right. $\[\Rightarrow x_{4} =0,x_{3} =0,x_{1} =-3x_{2} .\] Vậy, hệ có vô số nghiệm $\left(-3t,t,0,0\right){\rm ,\; }t\in \mathbb{R}$.
