$V$ là không gian vector trên trường số thực. Số $\lambda $ được gọi là trị riêng của toán tử tuyến tính $T:V\to V$ nếu tồn tại vector $x\neq \theta $ sao cho $T(x)\ =\lambda x$.

Chú ý.

1. Vector $x\neq \theta $ này được gọi là vector riêng của $T$  ứng trị riêng $\lambda $.
2. Ta viết $T(x) =\lambda x$ thành $T(x)=\text{id}(x)$ với $\text{id}$ là ánh xạ đồng nhất trên $V$. Do đó, ta có  $(T-\lambda \text{id})(x)=\theta\in V$.
3. Vậy, những vector riêng của $T$ ứng với trị riêng $\lambda$ là những vector khác không của $\text{Ker}(T-\lambda \text{id}).$
4. Tập $\text{Ker}(T-\lambda\text{id})$ được gọi là không gian riêng của $T$ ứng với trị riêng $\lambda$.

Định lý. Ánh xạ $T:V\to V$ là toán tử tuyến tính trên không gian vector hữu hạn chiều $V$, $A$ là ma trận của $T$ đối với một cơ sở bất kỳ $B $ của $V$. Khi đó:

1. Những trị riêng của $T$ là những trị riêng của $A$.
2. Vector $x$ là vector riêng của $T$ ứng trị riêng $\lambda$ khi và chỉ khi ma trận tọa độ ${\left[x\right]}_B$ tức là vector cột ${\left[x\right]}_B$ là vector riêng của $A$ ứng trị riêng $\lambda$.

Chú ý. Nếu đổi cơ sở thì trị riêng vẫn không thay đổi.

Muốn tìm trị riêng và vector riêng của $T$, ta chọn trong $V$ một cơ sở xác định $B$, xây dựng ma trận $A$ của $T$ đối với cơ sở $B$, rồi tìm trị riêng của $A$, đó chính là trị riêng của $T$. Còn biểu thức của vector riêng thì phụ thuộc cơ sở $B$ đã chọn (nếu $B$ là cơ sở chính tắc thì vector riêng của $A$ ứng trị riêng $\lambda$ chính là vector riêng của $T$ ứng trị riêng $\lambda$).

Ví dụ 7. Tìm trị riêng và vector riêng của toán tử tuyến tính $T:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ xác định bởi $T(x_{1} ,x_{2} )=(x_{1} +3x_{2} ,x_{1} -x_{2})$.

Hướng dẫn. Để đơn giản ta chọn $B$ là cơ sở chính tắc trong $\mathbb{R}^2$. Khi đó, ta có ma trận chính tắc của $T$ là $A=\left[\begin{array}{cc} {1} & {3} \\ {1} & {-1} \end{array}\right]$.

Tiếp theo, ta tìm trị riêng và vector riêng của $A$.

Xét phương trình đặc trưng của $\left|\begin{array}{cc}{1-\lambda } & {3} \\ {1} & {-1-\lambda } \end{array}\right|=0\Leftrightarrow \lambda ^{2} -4=0$

$A$ có 2 trị riêng $\lambda _{1} =2,\lambda _{2} =-2$.

Vậy, $T$ có 2 trị riêng $\lambda _{1} =2,\lambda _{2} =-2$.

Vì $B$ là cơ sở chính tắc trong $\mathbb{R}^2$ nên vector riêng của $A$ ứng trị riêng $\lambda$ chính là vector riêng của $T$ ứng trị riêng $\lambda$.

Tiếp theo, ta tìm vector riêng của $A$ ứng trị riêng $\lambda$.

Giả sử, $x=\left[\begin{array}{c} {x_{1} } \\ {x_{2} } \end{array}\right]$ là vectơ riêng của $A$ ứng trị riêng $\lambda $ thì $x$ là nghiệm không tầm thường của hệ $\left\{\begin{array}{l} {(1-\lambda )x_{1} +3x_{2} =0} \\ {x_{1} +(-1-\lambda )x_{2} =0} \end{array}\right. $.

Với $\lambda _{1} =2$ ta có hệ $\left\{\begin{array}{l} {-x_{1} +3x_{2} =0} \\ {x_{1} -3x_{2} =0} \end{array}\right. $$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {x_{1} =3x_{2} } \\ {x_{2} \in \mathbb R \end{array}\right. $.

Vector riêng của $A$ ứng trị riêng $\lambda _{1} =2$ là: $x=\left[\begin{array}{c} {3x_{2} } \\ {x_{2} } \end{array}\right]=t\left[\begin{array}{c} {3} \\ {1} \end{array}\right],{\rm \; \; }0\ne t\in \mathbb{R}$.

Vây, vector riêng của $T$ ứng trị riêng $\lambda_{1}=2$ là: $x=\left[\begin{array}{c} {3x_{2} } \\ {x_{2} } \end{array}\right]=t\left[\begin{array}{c} {3} \\ {1} \end{array}\right], 0\ne t\in \mathbb R$ hay $x=(3t,t), 0\ne t\in \mathbb{R}$.

Tương tự, ta có vector riêng của $A$ ứng trị riêng $\lambda_{2}=-2$ là: $x=\left[\begin{array}{c} {-x_{2} } \\ {x_{2} } \end{array}\right]=s\left[\begin{array}{c} {-1} \\ {1} \end{array}\right],{\rm \; \; }0\ne s\in \mathbb{R}$.

Vây, vector riêng của $T$ ứng trị riêng $\ {\lambda }_2=-2$ là: $x=\left[\begin{array}{c} {-x_{2} } \\ {x_{2} } \end{array}\right]=s\left[\begin{array}{c} {-1} \\ {1} \end{array}\right],{\rm \; \; }0\ne s\in \mathbb R$ hay $x=(-s,s),{\rm \; \; }0\ne s\in \mathbb{R}$.