Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$, nếu tồn tại ma trận $B$ vuông cấp $n$ sao cho $A.B=B.A=I$ thì ta nói $A$ khả đảo và $B$ là ma trận nghịch đảo của $A$, kí hiệu $A^{-1}$. 

Ma trận nghịch đảo của $A$ nếu tồn tại thì duy nhất.

(i) Nếu  $A\in \mathcal M_{n}$  khả đảo thì $\det \left(A\right)\ne 0$.

(ii)  Nếu $\det \left(A\right)\ne 0$ thì $A$ có nghịch đảo và $$A^{-1} =\dfrac{C^{t} }{\det (A)} $$ trong đó $C=\left[c_{ij} \right]\in \mathcal M_{n}$, $c_{ij} =\left(-1\right)^{i+j} \det \left(M_{ij} \right)$ với $M_{ij}$ là ma trận con ứng với phần tử $a_{ij} $ trong ma trận $A$).

Cách 1: Áp dụng định lý 2.

Bước 1: Tìm $\det \left(A\right)$.

- Nếu $\det \left(A\right)=0$ thì kết luận không tồn tại ma trận nghịch đảo của A.

- Nếu $\det \left(A\right)\ne 0$ thì tính tất cả các phần tử $c_{ij} $ của ma trận $C$.

Bước 2: Lập ma trận $C$, suy ra ma trận $C^{t} $.

Bước 3: Thực hiện phép nhân số $\dfrac{1}{\det (A)} $ với ma trận $C^{t} $ ta có ma trận $A^{-1} $.

Ví dụ 5. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận $A=\left[\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {0} & {-3} \end{array}\right]$.

Hướng dẫn. 

Ta có, $\det (A)=-3\ne 0$ nên tồn tại $A^{-1} $.

$$c_{11} =\left(-1\right)^{1+1} \det \left(M_{11} \right)=-3;\quad c_{12} =\left(-1\right)^{1+2} \det \left(M_{12} \right)=0$$$$c_{21} =\left(-1\right)^{2+1} \det \left(M_{21} \right)=-2;\quad  c_{22} =\left(-1\right)^{2+2} \det \left(M_{22} \right)=1$$ Do đó $C=\left[\begin{array}{cc} {-3} & {0} \\ {-2} & {1} \end{array}\right] \Rightarrow C^{t} =\left[\begin{array}{cc} {-3} & {-2} \\ {0} & {1} \end{array}\right]$.

Vậy, $A^{-1} =\dfrac{C^{t} }{\det (A)} =-\dfrac{1}{3} \cdot \left[\begin{array}{cc} {-3} & {-2} \\ {0} & {1} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} {1} & {\frac{2}{3} } \\ {0} & {-\frac{1}{3} } \end{array}\right]$.

Cách 2. Áp dụng phương pháp Gauss-Jordan (biến đổi sơ cấp)

Bước 1: Viết ma trận đơn vị $I$ bên cạnh ma trận $A$ ($I$ và $A$ là 2 ma trận cùng cấp)

Bước 2: Áp dụng các phép biến đổi sơ cấp đưa dần $A$ về ma trận đơn vị, tác động đồng thời các phép biến đổi sơ cấp đó vào ma trận $I$ ở bên cạnh. Khi ở cột $A$ xuất hiện ma trận đơn vị thì cột còn lại là $A^{-1} $.    

Ví dụ 6. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận $A=\left[\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {0} & {-3} \end{array}\right]$.

Hướng dẫn. 

Ta có, $\det (A)=-3\ne 0$ nên tồn tại $A^{-1} $.

Trước hết, ta đưa phần tử $a_{22} $ trong ma trận $A$ về số 1.

Tiếp theo, đưa phần tử $a_{12} $ trong ma trận mới về số 0.

Ta có thể trình bày như sau:

Vậy $A^{-1} =\left[\begin{array}{cc} {1} & {\frac{2}{3} } \\ {0} & {-\frac{1}{3} } \end{array}\right]$.