Áp dụng cách tìm trị riêng của ma trận.

Giải phương trình đặc trưng của $A$ ta có các giá trị riêng cần tìm.

Cách 1. Tìm nghiệm khác không của hệ $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {(1-\lambda )x_{1} +5x_{2} =0} \\ {0x_{1} +(1-\lambda )x_{2} =0} \end{array}\right. $.

 Cách 2. Áp dụng định nghĩa, thay từng phương án trả lời vào công thức $Ax=\lambda x$, phương án nào thỏa mãn thì đó là đáp án.

Áp dụng cách tìm trị riêng của ma trận.

Giải phương trình đặc trưng của $A$ ta có các giá trị riêng cần tìm.

Cách 1. Tìm nghiệm khác không của hệ $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {(1-\lambda )x_{1} -12x_{2} =0} \\ {-x_{1} +(5-\lambda )x_{2} =0} \end{array}\right. $.

Cách 2. Áp dụng định nghĩa, thay từng phương án trả lời vào công thức $Ax=\lambda x$, phương án nào thỏa mãn thì đó là đáp án.

Căn cứ vào điều kiện chéo hóa của ma trận. Trước tiên, ma trận đó phải là ma trận vuông cấp n, thứ hai, ma trận đó có đủ n trị riêng khác nhau hoặc có đủ n vector riêng độc lập tuyến tính (trường hợp ma trận không có đủ n trị riêng khác nhau thì phải kiểm tra xem có đủ n vector riêng độc lập tuyến tính hay không)

Tìm ma trận của $f$ đối với một cơ sở bất kì trong $\mathbb{R}^{2} $(để đơn giản thường ta chọn cơ sở chính tắc). Sau đó áp dụng cách tìm trị riêng của ma trận để tìm trị riêng của ma trận vừa tìm được. Trị riêng của ma trận này chính là trị riêng của $f$.

Cách 1. Áp dụng định nghĩa, $f(x)=\lambda x$, thử trực tiếp từng phương án trả lời, phương án nào thỏa mãn thì đó là đáp án.

 Cách 2. Tìm ma trận của $f$ đối với cơ sở chính tắc trong $\mathbb{R}^{2} $. Tiếp theo, tìm vector riêng $\lambda =-4$ của ma trận chính tắc đó ứng trị riêng , đó chính là vector riêng của $f$ ứng trị riêng $\lambda =-4$ (vì cơ sở ta chọn là cơ sở chính tắc).

Giải phương trình đặc trưng của ma trận $A$ ta sẽ có câu trả lời.

Dựa vào nhận xét, ma trận $P^{-1} AP$ là ma trận đường chéo có các phần tử chéo $\lambda _{i} $ trong đó $\lambda _{i} $ là trị riêng của $A$ ứng với vector riêng $p_{i} $.