Áp dụng định nghĩa ánh xạ tuyến tính.

Dễ thấy, $f:\mathbb{R}^{2} \to\mathbb{R}^{2}$ xác định bởi $f(x,y)=(x+3y,xy)$ không phải là ánh xạ tuyến tính nên không là toán tử tuyến tính.

Còn 2 ánh xạ $f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$ xác định bởi $f(x,y)=3x+4y$ và $f:\mathbb R\to \mathbb{R}^{2}$ xác định bởi $f(x)=(x,-5x)$ mặc dù đều là ánh xạ tuyến tính, tuy nhiên tập đích $W$ không trùng tập nguồn $V$ nên cũng không phải toán tử tuyến tính.

Dễ dàng kiểm tra ánh xạ $f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}$ xác định bởi $f(x,y)=(x+3y,5y)$ là ánh xạ tuyến tính và tập đích $W$ trùng tập nguồn $V$ nên là toán tử tuyến tính.

Từ định nghĩa ma trận của ánh xạ tuyến tính, ta xác định được cỡ của ma trận cần tìm. Áp dụng cách tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính (trường hợp riêng).

Tìm các $f(e_{j} ),j=\overline{1,3}$ với $e_{1} =(1,0,0),e_{2} =(0,1,0),e_{3} =(0,0,1)$.

Cuối cùng dựng $f(e_{j} ),j=\overline{1,3}$ theo thứ tự thành các cột trong ma trận $A$.

Áp dụng định nghĩa tìm hạt nhân của ánh xạ tuyến tính $\text{Ker}(f)=\left\{x\in V|f(x)=\theta \in W\right\}$.

Giải phương trình $f(x_{1} ,x_{2} )=(0,0)$$\Leftrightarrow (3x_{1} -7x_{2} ,-5x_{2} )=(0,0)$.

$$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {3x_{1} -7x_{2} =0} \\ {-5x_{2} =0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {x_{1} =0} \\ {x_{2} =0} \end{array}\right. .$$

Từ đó suy ra kết quả.

Cách 1. Áp dụng định nghĩa tìm hạt nhân của ánh xạ tuyến tính $\text{Ker}(f)=\left\{x\in V|f(x)=\theta \in W\right\}$.

Ta xuất phát từ  $f(x_{1},x_{2} ,x_{3})=(0,0)\Leftrightarrow (3x_{1} +2x_{2} -x_{3} ,-x_{2} +5x_{3})=(0,0)$. $$\Leftrightarrow \begin{cases}3x_{1} +2x_{2} -x_{3} =0\\-x_{2} +5x_{3} =0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_{1} =-3x_{3}\\x_{2}=5x_{3}\\x_{3} \in \mathbb{R}\end{cases}$$ Vậy, $\text{Ker}(f)=\left\{(-3x_{3} ,5x_{3} ,x_{3} )|x_{3} \in \mathbb R\right\}$. Từ đó đưa ra câu trả lời chính xác.

Cách 2. Áp dụng định nghĩa tìm ảnh của ánh xạ tuyến tính $\text{Im}(f)=\left\{y\in W|\exists x\in V:f(x)=y\right\}$.

Ta có, $f(x_{1} ,x_{2} ,x_{3} )=(y_{1} ,y_{2} )\Leftrightarrow (3x_{1} +2x_{2} -x_{3} ,-x_{2} +5x_{3} )=(y_{1} ,y_{2} )$ $$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {3x_{1} +2x_{2} -x_{3} =y_{1} } \\ {-x_{2} +5x_{3} =y_{2} } \end{array}\right..$$ Dễ thấy, hệ này luôn có nghiệm với mọi vector $(y_{1} ,y_{2} )\in \mathbb R^{2}$ nên $\text{Im}(f)=\mathbb R^{2} \Rightarrow \dim (\text{Im}(f))=2$ .

Cuối cùng, áp dụng định lý $\dim (\text{Ker}(f))+\dim (\text{Im}(f))=\dim (V)$ ta sẽ có đáp án cho bài toán.

Theo định nghĩa ma trận của ánh xạ tuyến tính, ta xác định được cỡ của ma trận cần tìm.

Áp dụng cách tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính (trường hợp riêng).

Tìm các $f(u_{j} ),j=\overline{1,2}$: $f(u_{1} )=(0,-3),f(u_{2} )=(3,9)$

Tiếp theo, biểu diễn các $f(u_{j} ),j=\overline{1,2}$ trong cơ sở $B=\left\{u_{1} (1,-1),u_{2} (0,3)\right\}$  (tìm ma trận tọa độ của $f(u_{j} ),j=\overline{1,2}$ đối với cơ sở $B$).

Giả sử, $f(u_{1} )=c_{1} u_{1} +c_{2} u_{2} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {c_{1} =0} \\ {-c_{1} +3c_{2} =-3} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {c_{1} =0} \\ {c_{2} =-1} \end{array}\right. $$\Rightarrow \left[f(u_{1} )\right]_{B} =\left[\begin{array}{c} {0} \\ {1} \end{array}\right]$.

Tương tự, ta có $\Rightarrow \left[f(u_{2} )\right]_{B} =\left[\begin{array}{c} {3} \\ {4} \end{array}\right]$.

Từ đó suy ra kết quả đúng.

Áp dụng định nghĩa ánh xạ tuyến tính.

Ánh xạ $f:V\to W$ là ánh xạ tuyến tính nếu nó thỏa mãn đồng thời 2 tính chất sau: $f(u+v)=f(u)+f(v),\forall u,v\in V$ và $f(ku)=kf(u),\forall u\in V,\forall k\in \mathbb{R}$.

Chỉ cần 1 trong 2 tính chất trên không được thỏa mãn thì $f$ không phải là ánh xạ tuyến tính.

Áp dụng định nghĩa ánh xạ tuyến tính.

Ánh xạ $f:V\to W$ là ánh xạ tuyến tính nếu nó thỏa mãn đồng thời 2 tính chất sau:$f(u+v)=f(u)+f(v),\forall u,v\in V$ và $f(ku)=kf(u),\forall u\in V,\forall k\in \mathbb{R}$.

Chỉ cần 1 trong 2 tính chất trên không được thỏa mãn thì $f$ không phải là ánh xạ tuyến tính.

Áp dụng định nghĩa tìm tập ảnh của ánh xạ tuyến tính $\text{Im}(f)=\left\{y\in W|\exists x\in V:f(x)=y\right\}$.

$f(x_{1} ,x_{2} )=y\in \mathbb R$$\Leftrightarrow 3x_{1} -x_{2} =y$. Tìm điều kiện của $y$ để phương trình này luôn có nghiệm. Từ đó suy ra kết quả.

Áp dụng định nghĩa tìm hạt nhân của ánh xạ tuyến tính $\text{Ker}(f)=\left\{x\in V|f(x)=\theta \in W\right\}$. Ta có $$f(x_{1} ,x_{2} )=0 \Leftrightarrow x_{1} -2x_{2} =0\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {x_{1} =2x_{2} } \\ {x_{2} \in \mathbb{R}} \end{array}\right..$$ Từ đó suy ra kết quả.

Từ định nghĩa ma trận của ánh xạ tuyến tính, ta xác định được cỡ của ma trận cần tìm. Áp dụng cách tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính (trường hợp riêng).

Tìm các $f(e_{j} ),j=\overline{1,2}$ với $e_{1} =(1,0),e_{2} =(0,1)$.

Cuối cùng dựng $f(e_{j} ),j=\overline{1,2}$  theo thứ tự thành các cột trong ma trận $A$.