Trong thực tiễn đời sống, trong kỹ thuật hay trong các khoa học khác, có nhiều bài toán liên quan đến hệ phương trình tuyến tính, chẳng hạn các bài toán sau đây:
3.1. Dạng tổng quát của hệ PTTT
Bài toán 1
Trên cánh đồng Diên Khánh có trồng 40 ha lúa giống cũ và 60 ha lúa giống mới. Thu hoạch tất cả được 560 tấn thóc. Hỏi năng suất mỗi loại lúa trên 1 ha là bao nhiêu, biết rằng 3 ha trồng lúa mới thu hoạch được ít hơn 4 ha trồng lúa cũ là 2 tấn.
Bài toán 2
Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B trong thời gian nhất định. Nếu chạy với vận tốc 45 km/h thì đến B chậm mất 1/2 giờ; nếu chạy với vận tốc 60 km/h thì đến B sớm hơn 45 phút. Tính quãng đường AB và thời gian dự định lúc đầu.
Bài toán 3
Trong đợt thu hoạch sản phẩm tăng gia để nhập cho bếp của d30, kết quả như sau:
Đại đội 1, thu hoạch được 30 kilogam rau mồng tơi, 30 kilogam rau cải và 50 kilogam rau muống và thu được số tiền là 570 nghìn đồng.
Đại đội 2, thu hoạch được 35 kilogam rau mồng tơi, 40 kilogam rau cải và 30 kilogam rau muống và thu được số tiền là 515 nghìn đồng.
Đại đội 3, thu hoạch được 25 kilogam rau mồng tơi, 40 kilogam rau cải và 45 kilogam rau muống và thu được số tiền là 555 nghìn đồng.
Hãy cho biết giá tiền (trên mỗi kilogam) của từng loại rau mà d30 đã nhập cho các bếp.
Bài toán 4
Cân bằng phản ứng hóa học
Định nghĩa
Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn số là hệ có dạng
Ví dụ 1
là các hệ phương trình tuyến tính. không phải là hệ phương trình tuyến tính.
Một số trường hợp đặc biệt
1) Trường hợp số phương trình bằng số ẩn (hệ vuông)
2) Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Ví dụ 2. Nhận dạng hệ phương trình tuyến tính
Cả 6 ví dụ trên đều là hệ phương trình tuyến tính, trong đó
Nghiệm của hệ
Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
Giải hệ
Chú ý. Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nhau nếu tập nghiệm của chúng trùng nhau.
Ví dụ 3
Bộ số (22,14) là một nghiệm của hệ
Ma trận liên kết, ma trận đầy đủ
Ma trận liên kết với hệ phương trình tuyến tính
Như vậy,
Ma trận bổ sung của hệ
Nghĩa là,
Ví dụ 4. Với hệ
Ta có ma trận liên kết và ma trận đầy đủ
Với hệ
Ta có ma trận liên kết và ma trận đầy đủ
Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính
Xét hệ
Ta có ma trận liên kết với hệ (1)
Nếu gọi ma trận
Ta có
Chú ý
Ta có dạng ma trận của hệ vuông (2) là
Dạng ma trận của hệ thuần nhất (3) là