Trên cánh đồng Diên Khánh có trồng 40 ha lúa giống cũ và 60 ha lúa giống mới. Thu hoạch tất cả được 560 tấn thóc. Hỏi năng suất mỗi loại lúa trên 1 ha là bao nhiêu, biết rằng 3 ha trồng lúa mới thu hoạch được ít hơn 4 ha trồng lúa cũ là 2 tấn.

Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B trong thời gian nhất định. Nếu chạy với vận tốc 45 km/h thì đến B chậm mất 1/2 giờ; nếu chạy với vận tốc 60 km/h thì đến B sớm hơn 45 phút. Tính quãng đường AB và thời gian dự định lúc đầu.

Trong đợt thu hoạch sản phẩm tăng gia để nhập cho bếp của d30, kết quả như sau:

Đại đội 1, thu hoạch được 30 kilogam rau mồng tơi, 30 kilogam rau cải và 50 kilogam rau muống và thu được số tiền là 570 nghìn đồng.

Đại đội 2, thu hoạch được 35 kilogam rau mồng tơi, 40 kilogam rau cải và 30 kilogam rau muống và thu được số tiền là 515 nghìn đồng.

Đại đội 3, thu hoạch được 25 kilogam rau mồng tơi, 40 kilogam rau cải và 45 kilogam rau muống và thu được số tiền là 555 nghìn đồng.

Hãy cho biết giá tiền (trên mỗi kilogam) của từng loại rau mà d30 đã nhập cho các bếp.

Cân bằng phản ứng hóa học $CH_{4} +O_{2} \to CO_{2} +H_{2} O$.

Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn số là hệ có dạng $$\left\{\begin{array}{ccccccccc} {a_{11} x_{1} } & {+} & {a_{12} x_{2} } & {+} & {\cdots } & {+} & {a_{1n} x_{n} } & {=} & {b_{1} } \\ {a_{21} x_{1} } & {+} & {a_{22} x_{2} } & {+} & {\cdots } & {+} & {a_{2n} x_{n} } & {=} & {b_{2} } \\ {\vdots } & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {\vdots } \\ {a_{m1} x_{1} } & {+} & {a_{m2} x_{2} } & {+} & {\cdots } & {+} & {a_{mn} x_{n} } & {=} & {b_{m} } \end{array}\right.\label{3.1.1.1}\tag{1}$$

$x_{j}, j=\overline{1,n}$ là các ẩn.
$a_{ij} ,{\rm \; }i=\overline{1,m},j=\overline{1,n}$ là hệ số của ẩn $x_{j} $ ở phương trình thứ $i$.
$b_{i} $ là hệ số vế phải của phương trình thứ $i$.

1. $\left\{\begin{array}{ccccc} {40x} & {+} & {60y} & {=} & {560} \\ {4x} & {-} & {3y} & {=} & {2} \end{array}\right. \qquad \left\{\begin{array}{ccccccc} {x_{1} } & {+} & {x_{2} } & {+} & {x_{3} } & {=} & {6} \\ {2x_{1} } & {+} & {2x_{2} } & {-} & {x_{3} } & {=} & {3} \end{array}\right. $ là các hệ phương trình tuyến tính.
2. $\left\{\begin{array}{ccccc} {x} & {+} & {y^{2} } & {=} & {1} \\ {2x} & {-} & {y} & {=} & {5} \end{array}\right.;\qquad\left\{\begin{array}{ccccc} {3x} & {-} & {y} & {=} & {0} \\ {2xy} & {} & {} & {=} & {1}\end{array}\right.$ không phải là hệ phương trình tuyến tính.

1) Trường hợp số phương trình bằng số ẩn (hệ vuông) 

$$\left\{\begin{array}{ccccccccc} {a_{11} x_{1} } & {+} & {a_{12} x_{2} } & {+} & {\cdots } & {+} & {a_{1n} x_{n} } & {=} & {b_{1} } \\ {a_{21} x_{1} } & {+} & {a_{22} x_{2} } & {+} & {\cdots } & {+} & {a_{2n} x_{n} } & {=} & {b_{2} } \\ {\vdots } & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {\vdots } \\ {a_{n1} x_{1} } & {+} & {a_{n2} x_{2} } & {+} & {\cdots } & {+} & {a_{nn} x_{n} } & {=} & {b_{n} } \end{array}\right.\label{3.1.2.2}\tag{2}$$

2) Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

$$\left\{\begin{array}{ccccccccc} {a_{11} x_{1} } & {+} & {a_{12} x_{2} } & {+} & {\cdots } & {+} & {a_{1n} x_{n} } & {=} & {0} \\ {a_{21} x_{1} } & {+} & {a_{22} x_{2} } & {+} & {\cdots } & {+} & {a_{2n} x_{n} } & {=} & {0} \\ {\vdots } & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {\vdots } \\ {a_{m1} x_{1} } & {+} & {a_{m2} x_{2} } & {+} & {\cdots } & {+} & {a_{mn} x_{n} } & {=} & {0} \end{array}\right.\label{3.1.2.3}\tag{3}$$

Ví dụ 2. Nhận dạng hệ phương trình tuyến tính

\begin{align}&\begin{cases}40x+60y=560\\4x-3y=2\end{cases}\tag{a}\label{a}\\ &\begin{cases}90t-2x=-45\\60t-x=45\end{cases}\tag{b}\label{b}\\&\begin{cases}30x_{1}+30x_{2}+50x_{3}=570\\35x_{1}+40x_{2}+30x_{3}= 515\\25x_{1}+40x_{2}+45x_{3}=555\end{cases}\tag{c}\label{c}\\&\begin{cases}x_{1}+3x_{2}=0\\5x_{1}-4x_{2}=0\\x_{1}-x_{2}=0\end{cases}\tag{d}\label{d}\\&\begin{cases}x_{1}+x_{2}+x_{3}=6\\2x_{1}+2x_{2}-x_{3}=3\end{cases}\tag{e}\label{e}\\&\begin{cases}x+y=36\\2x+4y=100\end{cases}\tag{f}\label{f}\end{align}

Cả 6 ví dụ trên đều là hệ phương trình tuyến tính, trong đó \eqref{a}; \eqref{b}; \eqref{c} và \eqref{f} là các hệ vuông; \eqref{d} là hệ thuần nhất.

Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính \eqref{3.1.1.1} là 1 bộ gồm n số $\left(c_{1} ,c_{2} ,\ldots ,c_{n} \right)$ mà khi thế vào $\left(x_{1} ,x_{2} ,\ldots ,x_{n} \right)$ thì (1) trở thành các đồng nhất thức.

Giải hệ \eqref{3.1.1.1} nghĩa là tìm tất cả nghiệm (tập nghiệm) của nó.

Chú ý. Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nhau nếu tập nghiệm của chúng trùng nhau.

Bộ số (22,14) là một nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{ccccc} {x} & {+} & {y} & {=} & {36} \\ {2x} & {+} & {4y} & {=} & {100} \end{array}\right. $ vì khi ta thay $x=22,y=14$ vào hệ trên thì ta có 2 đồng nhất thức.

Ma trận liên kết với hệ phương trình tuyến tính \eqref{3.1.1.1}là ma trận các hệ số của các ẩn trong hệ \eqref{3.1.1.1}, kí hiệu $A$.

Như vậy, $A=\left[\begin{array}{cccc} {a_{11} } & {a_{12} } & {\cdots } & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & {\cdots } & {a_{2n} } \\ {\vdots } & {\vdots } & {\ddots } & {\vdots } \\ {a_{m1} } & {a_{m2} } & {\cdots } & {a_{mn} } \end{array}\right]$.

Ma trận bổ sung của hệ \eqref{3.1.1.1} (ma trận đầy đủ của hệ \eqref{3.1.1.1}) là ma trận các hệ số trong hệ \eqref{3.1.1.1}, kí hiệu $\bar{A}$.

Nghĩa là, $\bar{A}=\left[\begin{matrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots& \vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{matrix}\right.\left|\begin{matrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_m\end{matrix}\right]$.

Ví dụ 4. Với hệ $\left\{\begin{array}{ccccccc} {x_{1} } & {+} & {2x_{2} } & {+} & {3x_{3} } & {=} & {1300000} \\ {2x_{1} } & {+} & {3x_{2} } & {+} & {x_{3} } & {=} & {1000000} \\ {2x_{1} } & {+} & {x_{2} } & {+} & {4x_{3} } & {=} & {1700000} \end{array}\right..$

Ta có ma trận liên kết và ma trận đầy đủ $$A=\left[\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {3} \\ {2} & {3} & {1} \\ {2} & {1} & {4} \end{array}\right], \bar{A}=\left[\begin{matrix}1&2&3\\2&3&1\\2&1&4\\\end{matrix}\right.\left| \begin{matrix}1300000\\1000000\\1700000\end{matrix}\right].$$

Với hệ $\left\{\begin{array}{ccccccc} {x_{1} } & {+} & {x_{2} } & {+} & {x_{3} } & {=} & {6} \\ {2x_{1} } & {+} & {2x_{2} } & {-} & {x_{3} } & {=} & {3} \end{array}\right. $

Ta có ma trận liên kết và ma trận đầy đủ $$A=\left[\begin{array}{ccc} {1} & {1} & {1} \\ {2} & {2} & {-1} \end{array}\right],\quad \bar{A}=\left[\begin{matrix}1&1&1\\2&2&-1\\\end{matrix}\right.\left|\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right].$$

Xét hệ $\left\{\begin{array}{ccccccccc} {a_{11} x_{1} } & {+} & {a_{12} x_{2} } & {+} & {\cdots } & {+} & {a_{1n} x_{n} } & {=} & {b_{1} } \\ {a_{21} x_{1} } & {+} & {a_{22} x_{2} } & {+} & {\cdots } & {+} & {a_{2n} x_{n} } & {=} & {b_{2} } \\ {\vdots } & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {\vdots } \\ {a_{m1} x_{1} } & {+} & {a_{m2} x_{2} } & {+} & {\cdots } & {+} & {a_{mn} x_{n} } & {=} & {b_{m} } \end{array}\right. $

Ta có ma trận liên kết với hệ (1) $A=\left[\begin{array}{cccc} {a_{11} } & {a_{12} } & {\cdots } & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & {\cdots } & {a_{2n} } \\ {\vdots } & {\vdots } & {\ddots } & {\vdots } \\ {a_{m1} } & {a_{m2} } & {\cdots } & {a_{mn} } \end{array}\right]$.

Nếu gọi ma trận $x=\left[\begin{array}{c} {x_{1} } \\ {x_{2} } \\ {\vdots } \\ {x_{n} } \end{array}\right]$ là ma trận các ẩn của hệ (1) và ma trận  $b=\left[\begin{array}{c} {b_{1} } \\ {b_{2} } \\ {\vdots } \\ {b_{m} } \end{array}\right]$ là ma trận vế phải của hệ (1).

Ta có $Ax=\left[\begin{array}{cccc} {a_{11} } & {a_{12} } & {\cdots } & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & {\cdots } & {a_{2n} } \\ {\vdots } & {\vdots } & {\ddots } & {\vdots } \\ {a_{m1} } & {a_{m2} } & {\cdots } & {a_{mn} } \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} {x_{1} } \\ {x_{2} } \\ {\vdots } \\ {x_{n} } \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} {a_{11} x_{1} +a_{12} x_{2} +\cdots a_{1n} x_{n} } \\ {a_{21} x_{1} +a_{22} x_{2} +\cdots a_{2n} x_{n} } \\ {\vdots } \\ {a_{m1} x_{1} +a_{m2} x_{2} +\cdots a_{mn} x_{n} } \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} {b_{1} } \\ {b_{2} } \\ {\vdots } \\ {b_{m} } \end{array}\right]$. Vậy $Ax=b$.

$Ax=b$ là dạng ma trận của hệ \eqref{3.1.1.1}.

Ta có dạng ma trận của hệ vuông (2) là $Ax=b$, trong đó $A$ là ma trận vuông cấp n còn x và b là 2 ma trận cụng cỡ $n\times 1$.

Dạng ma trận của hệ thuần nhất (3) là $Ax=\mathbf{O}$, trong đó $\mathbf{O}$ là ma trận không cỡ $m\times 1$.