Định nghĩa. Cho $V$ là không gian vector trên $\mathbb{R}$ và $S=\left\{x_{1} ,x_{2} ,\ldots ,x_{n} \right\}\subset V$.

Khi đó, vector $x=c_{1} x_{1} +c_{2} x_{2} +\cdots +c_{n} x_{n} ,\; \; c_{i}-\text{const}$ được gọi là một tổ hợp tuyến tính của các vector trong họ $S$.

Xét điều kiện $$c_{1} x_{1} +c_{2} x_{2} +\cdots +c_{n} x_{n} =\theta\tag{*}\label{a}.$$

Nếu điều kiện \eqref{a} chỉ xảy ra khi và chỉ khi $c_{1} =c_{2} =\cdots =c_{n} =0$  thì họ $S$ được gọi là họ vector độc lập tuyến tính.

Nếu tồn tại bộ số $c_{1},c_{2},\ldots,c_{n}$  không đồng thời bằng không $(c_{1} {}^{2} +c_{2} {}^{2} +\ldots +c_{n} {}^{2} \ne 0)$ để điều kiện \eqref{a} xảy ra thì họ $S$ được gọi là họ vector phụ thuộc tuyến tính.

Ví dụ 1.Trong không gian vector $\mathbb{R}^{3}$ xét họ $S=\left\{e_{1} (1,0,0),e_{2} (0,1,0),e_{3} (0,0,1)\right\}$. Dễ dàng chứng minh $S$ là họ độc lập tuyến tính trong $V$.

Tính chất.

Tính chất 1. Họ $n$ vector độc lập tuyến tính thì họ $p$ vector trong số $n$ vector đó cũng là họ độc lập tuyến tính.

Tính chất 2.  Khi thêm một vector vào một họ phụ thuộc tuyến tính ta vẫn được họ phụ thuộc tuyến tính.

Tính chất 3. Các vector trong một họ độc lập tuyến tính phải khác nhau từng đôi một.

Tính chất 4. Trong họ độc lập tuyến tính không có vector không.

Ví dụ 2. Họ $S_{1} =\left\{\left(1,0,2\right),\left(0,0,0\right),\left(2,-1,8\right)\right\}$, $S_{2} =\left\{\left(1,0,2\right),\left(0,7,0\right),\left(1,0,2\right)\right\}$ là các họ phụ thuộc tuyến tính.

Họ $S=\left\{e_{1} (1,0,0),e_{2} (0,1,0)\right\}$ là họ độc lập tuyến tính.

Định nghĩa.Không gian vector $V$ được gọi là không gian $n$ chiều nếu trong $V$ tồn tại $n$ vector độc lập tuyến tính và không tồn tại quá $n$ vector độc lập tuyến tính. Khi đó ta nói số chiều của không gian $V$ là $n$, kí hiệu là $\dim \left(V\right)$.

Các không gian $n$ chiều ($n\ge 0$) được gọi là không gian hữu hạn chiều.

Ví dụ 3. Các không gian vector ${\theta}$, $\mathcal{M}_{2}$, $\mathbb{R}^{n}$ là các không gian vector hữu hạn chiều: $\dim (\{ \theta \} )=0$, $\dim(\mathcal{M}_{2}$) = 4, $\dim \left(\mathbb{R}^{n} \right)=n$.

Định nghĩa.Trong không gian $n$ chiều $V$ mọi họ gồm $n$ vector độc lập tuyến tính gọi là một cơ sở của $V$.

Trong không gian $n$ chiều $\mathbb{R}^{n} $ họ vector $B=\left\{u_{1} ,u_{2} ,\ldots ,u_{n}\right\}$ với $u_{i} \left(0,\ldots ,0,a_{i} ,0,\ldots ,0\right),{\rm \; }a_{i} \ne 0,i=\overline{1,n}$  là cơ sở.

Đặc biệt, $B=\left\{e_{1} ,e_{2},\ldots ,e_{n}\right\}$ với $e_{i} \left(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0\right)$ (số 1 ở vị trí tọa độ thứ $i$) được gọi là cơ sở chính tắc của $\mathbb{R}^n$.

Chú ý. 

1) Cho $V$ là không gian vector $n$ chiều trên $\mathbb{R}$ và $B=\left\{u_{1} ,u_{2},\ldots,u_{n}\right\}$ là 1 cơ sở của $V$ thì $\forall x\in V$ có biểu diễn duy nhất qua cơ sở $B$: $$x=c_{1} u_{1} +c_{2} u_{2} +\cdots +c_{n} u_{n}.$$

Ngược lại, nếu $\forall x\in V$ có biểu diễn duy nhất $x=c_{1} u_{1} +c_{2} u_{2} +\cdots +c_{n} u_{n} $, thì $V$ được gọi là không gian $n$ chiều và $B$ là 1 cơ sở của $V$.

Các số $c_{1} ,c_{2} ,..,c_{n}$ được gọi là các tọa độ của vector $x$ đối với cơ sở $B$.

${(x)}_{B} =\left(c_{1} ,c_{2} ,..,c_{n} \right)$ được gọi là vector tọa độ của $x$ đối với cơ sở $B$.

${[x]}_{B} =\left[\begin{array}{c} {c_{1} } \\ {c_{2} } \\ {\vdots } \\ {c_{n} } \end{array}\right]\;$ được gọi là ma trận tọa độ của $x$ đối với cơ sở $B$.

2) Cho $V$ là không gian vector $n$ chiều, $B=\left\{u_{1} ,u_{2} ,\ldots ,u_{n} \right\}$ là một cơ sở bất kỳ của $V$ và $S=\left\{v_{1} ,v_{2} ,\ldots ,v_{n} \right\}$ là một họ vector của $V$.

Ta có $v_{j} ,j=\overline{1,n}\; $ có sự biểu diễn duy nhất qua $B$.

Giả sử $v_{j}v_{1j} u_{1} +v_{2j} u_{2} +\cdots +v_{nj} u_{n} $ $\Rightarrow \left[v_{j} \right]_{B} =\left[\begin{array}{c} {v_{1j} } \\ {v_{2j} } \\ {\vdots } \\ {v_{nj} } \end{array}\right]\; $.

Lập ma trận $A=\left[\begin{array}{cccc} {v_{11} } & {v_{12} } & {\cdots } & {v_{1n} } \\ {v_{21} } & {v_{22} } & {\cdots } & {v_{2n} } \\ {\vdots } & {\vdots } & {\ddots } & {\vdots } \\ {v_{n1} } & {v_{n2} } & {\cdots } & {v_{nn} } \end{array}\right]$.

Khi đó, $S$ độc lập tuyến tính khi và chỉ khi $\det \left(A\right)\ne 0$.

Chứng minh $S=\left\{u_{1},u_{2},u_{3} \right\}$ với $u_{1} \left(2,-3,1\right),{\rm \; }u_{2} \left(3,-1,5\right),{\rm \; }u_{3} \left(1,-4,3\right)$ là hệ độc lập tuyến tính trong $\mathbb{R}^{3}$.

Họ $S=\left\{u_{1} ,u_{2} ,u_{3} \right\}$ với $u_{1} \left(0,0,0\right),{\rm \; }u_{2} \left(1,2,3\right),{\rm \; }u_{3} \left(2,-4,3\right)$ là họ phụ thuộc tuyến tính trong $\mathbb{R}^3$.

Thật vậy $A=\left[\begin{array}{ccc} {0} & {1} & {2} \\ {0} & {2} & {-4} \\ {0} & {3} & {3} \end{array}\right]$$\Rightarrow \det \left(A\right)=0$. Vậy $S$ là họ phụ thuộc tuyến tính trong $\mathbb{R}^3$.

Định nghĩa. Cho $V$ là không gian vector $n$ chiều, $B=\left\{u_{1} ,u_{2} ,\ldots ,u_{n} \right\}$ và  $B'=\left\{u'_{1} ,u'_{2} ,\ldots ,u'_{n} \right\}$ là hai cơ sở bất kỳ của $V$.

Với $x$ bất kỳ trong $V$. Giả sử $\left(x\right)_{B} =\left(x_{1} ,x_{2} ,\ldots ,x_{n} \right),\; \; \; \left(x\right)_{B{'} } =\left(x'_{1} ,x'_{2} ,\ldots ,x'_{n} \right)$. Suy ra, $\left[x\right]_{B} =\left[\begin{array}{c} {x_{1} } \\ {x_{2} } \\ {\vdots } \\ {x_{n} } \end{array}\right]$ và $\left[x\right]_{B'} =\left[\begin{array}{c} {x'_{1} } \\ {x'_{2} } \\ {\vdots } \\ {x'_{n} } \end{array}\right]\; $.

Nếu tồn tại ma trận $P$ thỏa mãn $\left[x\right]_{B} =P\left[x\right]_{B'}$ thì $P$ được gọi là ma trận chuyển cơ sở từ $B$ sang $B'$.

Chú ý.

Nếu $P$ là ma trận chuyển cơ sở từ $B$ sang $B'$ thì $P$ khả đảo và $P^{-1}$ là ma trận chuyển cơ sở từ $B'$ sang $B$.

Cách tìm ma trận chuyển cơ sở từ $B$ sang $B'$

Biểu diễn các vector của cơ sở $B’$ theo cơ sở $B$ $$v_{j} =p_{1j} u_{1} +p_{2j} u_{2} +\cdots +{\rm \; }p_{nj} u_{n} ,j=\overline{1,n}\Rightarrow \left[v_{j} \right]_{B} =\left[\begin{array}{c} {p_{1i} } \\ {p_{2j} } \\ {\vdots } \\ {p_{nj} } \end{array}\right].$$ Khi đó ta có ma trận chuyển cơ sở từ $B$ sang $B'$ như sau: $P_{B\to B'} =\left[\begin{array}{cccc} {p_{11} } & {p_{12} } & {\cdots } & {p_{1n} } \\ {p_{21} } & {p_{22} } & {\cdots } & {p_{2n} } \\ {\vdots } & {\vdots } & {\ddots } & {\vdots } \\ {p_{n1} } & {p_{n2} } & {\cdots } & {p_{nn} } \end{array}\right]$.

Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở chính tắc $B$ trong $\mathbb{ R}^{2}$ sang cơ sở $B'=\left\{u_{1} \left(4,1\right),u_{2} \left(-7,-8\right)\right\}\subset \mathbb R^{2} $.

Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở $B{'} =\left\{u_{1} \left(4,1\right),u_{2}\left(-7,-8\right)\right\}\subset\mathbb{R}^{2} $ sang cơ sở chính tắc $B$ trong $\mathbb{R}^{2}$.