Cho $A=\left[a_{ij}\right]_{m\times n}$ và số $p$ thỏa mãn $1\le p\le \min \left\{m,n\right\}$.
Ma trận vuông cấp $p$ suy từ $A$ bằng cách bỏ đi $(m –p)$ hàng, $(n –p)$ cột được gọi là ma trận con cấp $p$ của $A$, định thức của nó được gọi là định thức con cấp $p$ của $A$.
Tìm hạng của ma trận $A=\left[\begin{array}{ccc} {1} & {1} & {1} \\ {1} & {2} & {-1} \\ {1} & {0} & {3} \\ {2} & {1} & {4} \end{array}\right]$.
Dễ thấy, $1\le p\le \min \left\{3,4\right\}=3\Rightarrow p=1,2,3$.
$A$ không có định thức con cấp 4. Các định thức con cấp 3 của $A$:
Các định thức con cấp 2 của $A$: $\left|\begin{array}{cc} {1} & {1} \\ {1} & {2} \end{array}\right|$, $\left|\begin{array}{cc} {1} & {3} \\ {2} & {4} \end{array}\right|$ ...
Các định thức con cấp 1 của A là $1;\quad 2; \quad -1;\cdots$
Hạng của ma trận $A$ là cấp cao nhất của các định thức con khác không của $A$, kí hiệu $r\left(A\right)$.
Nhận xét, $0\le r\left(A\right)\le \min \left\{m,n\right\}$ ($r\left(A\right)=0$ khi $A$ là ma trận $\mathbf{O}$).
Tìm hạng của ma trận $A=\left[\begin{array}{ccc} {1} & {1} & {1} \\ {1} & {2} & {-1} \\ {1} & {0} & {3} \\ {2} & {1} & {4} \end{array}\right]$.
$A$ không có định thức con cấp 4, tất cả các định thức con cấp 3 đều bằng 0 mà tồn tại định thức con cấp 2 khác 0 nên $r\left(A\right)=2$.
i) $r\left(A\right)=r\left(A^{t} \right).$
ii) $A\in\mathcal M_{n}$ và $\det \left(A\right)\ne 0$ thì $r\left(A\right)=n$.
Ma trận $A=\left[\begin{array}{cc} {1} & {5} \\ {3} & {2} \end{array}\right]$ có $\det \left(A\right)=-13\ne 0$ nên $r\left(A\right)=2$.
Cách 1. Áp dụng định nghĩa
Bước 1: Tính các định thức con từ cấp 2 trở lên.
Bước 2: Giả sử tìm được định thức con cấp $r$ của $A$ thì tính định thức con cấp $r+1$, nếu nó bằng 0 thì tính tiếp các định thức con cấp $r+2$,... cho đến khi tính hết các định thức có thể tìm được của $A$. Khi đó, định thức cấp $r+k, k=1,2,...$ lớn nhất có giá trị khác 0 chính là hạng của ma trận $A$. Nếu tất cả định thức con cấp $r+k, k=1,2,...$ đều bằng 0 thì hạng của $A$ là $r$.
Ví dụ 10. Tìm hạng của ma trận $A=\left[\begin{array}{ccc} {1} & {1} & {1} \\ {1} & {2} & {-1} \\ {1} & {0} & {3} \\ {2} & {1} & {4} \end{array}\right]$.
Hướng dẫn. Ta có $D=\left|\begin{array}{cc} {1} & {1} \\ {1} & {2} \end{array}\right|=1\ne 0$.
Định thức con cấp 3 bao quanh D: $\left|\begin{array}{ccc} {1} & {1} & {1} \\ {1} & {2} & {-1} \\ {1} & {0} & {3} \end{array}\right|=0$
Các định thức con cấp 3 khác: $\left|\begin{array}{ccc} {1} & {1} & {1} \\ {1} & {2} & {-1} \\ {2} & {1} & {4} \end{array}\right|=0;\quad\left|\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {-1} \\ {1} & {0} & {3} \\ {2} & {1} & {4} \end{array}\right|=0$.
$A$ không có định thức con cấp 4.
Vậy $r\left(A\right)=2$.
Cách 2. Áp dụng các phép biến đổi sơ cấp (về hàng)
Chú ý
Các bước tìm hạng của ma trận khi áp dụng các phép BĐSC
Bước 1: Áp dụng các phép BĐSC đưa dần $A$ về dạng ma trận bậc thang $B$.
Bước 2: Áp dụng chú ý ii. ở trên để kết luận $r(A)$.
Ví dụ 11. Tìm hạng của ma trận $A=\left[\begin{array}{ccc} {1} & {1} & {1} \\ {1} & {2} & {-1} \\ {1} & {0} & {3} \\ {2} & {1} & {4} \end{array}\right]$.
Lời giải. $$\left[\begin{array}{ccc} {1} & {1} & {1} \\ {1} & {2} & {-1} \\ {1} & {0} & {3} \\ {2} & {1} & {4} \end{array}\right]\stackrel{\begin{array}{l} {h_{2} -h_{1} \to h_{2} } \\ {h_{3} -h_{1} \to h_{3} } \\ {h_{4} -2h_{1} \to h_{4} } \end{array}}{\longrightarrow} \left[\begin{array}{ccc} {1} & {1} & {1} \\ {0} & {1} & {-2} \\ {0} & {-1} & {2} \\ {0} & {-1} & {2} \end{array}\right]\stackrel{\begin{array}{l} {h_{3} +h_{2} \to h_{3} } \\ {h_{4} +h_{2} \to h_{4} } \end{array}}{\longrightarrow} \left[\begin{array}{ccc} {1} & {1} & {1} \\ {0} & {1} & {-2} \\ {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} \end{array}\right]$$ Vậy, $r\left(A\right)=2$.
