Giả sử $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Số $\lambda$ gọi là trị riêng của $A$ nếu phương trình $Ax=\lambda x, (x\in {\mathbb{R}}^n)$ có nghiệm $x=\left[ \begin{array}{c}
x_1 \\
\vdots \\
x_n \end{array}
\right]\neq \left[ \begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
0 \end{array}
\right]$.

Chú ý. 

1) Vector  $x\neq \theta $  này được gọi là vector riêng ứng trị riêng $\lambda $.

2) Nếu $x$  là vector riêng của $A$ ứng trị riêng $\lambda $  thì $kx\ (0\neq k\in \mathbb{R})$ cũng là vector riêng của $A$ ứng trị riêng $\lambda $.

Ví dụ 1. 

Cho ma trận $A=\left[ \begin{array}{cc}
10 & -9 \\
4 & -2 \end{array}
\right]$.

Ta thấy, $\left[ \begin{array}{cc}
10 & -9 \\
4 & -2 \end{array}
\right]\left[ \begin{array}{c}
3 \\
2 \end{array}
\right]=\left[ \begin{array}{c}
12 \\
8 \end{array}
\right]=4\left[ \begin{array}{c}
3 \\
2 \end{array}
\right]$.

Nghĩa là, 4 là trị riêng của $A$ với vector riêng là $x=\left[ \begin{array}{c}
3 \\
2 \end{array}
\right]$ hay $x=(3,2)$.

Để tìm trị riêng của ma trận vuông $A$, ta viết $Ax=\lambda x$ thành $Ax=\lambda Ix, (x\in {\mathbb{R}}^n)$ ($I$ là ma trận đơn vị cấp $n$).

Ta có, $(A-\lambda I)x=\theta$ đây là một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.

Nếu $A=\left[\begin{array}{cccc} {a_{11} } & {a_{12} } & {\ldots } & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & {\ldots } & {a_{2n} } \\ {\ldots } & {} & {} & {} \\ {a_{n1} } & {a_{n2} } & {\ldots } & {a_{nn} } \end{array}\right]$ thì $A-\lambda I=\left[\begin{array}{cccc} {a_{11} -\lambda } & {a_{12} } & {\ldots } & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} -\lambda } & {\ldots } & {a_{2n} } \\ {\ldots } & {} & {} & {} \\ {a_{n1} } & {a_{n2} } & {\ldots } & {a_{nn} -\lambda } \end{array}\right]$.

Ví dụ 2.  Hãy tìm vector riêng của ma trận $A=\left[ \begin{array}{cc}10 & -9 \\4 & -2 \end{array}\right]$.

Hướng dẫn. Trước hết cần xác định trị riêng của ma trận $A$.

Xét phương trình đặc trưng của $A$: $\left| \begin{array}{cc}10-\lambda & -9 \\4 & -2-\lambda \end{array}\right|=0$ $$\Leftrightarrow {\lambda }^2-8\lambda +16=0\Leftrightarrow {\left(\lambda -4\right)}^2=0\Leftrightarrow \lambda =4.$$ Vậy, $A$ có một trị riêng (bội 2) $\lambda =4$.

Tiếp theo, ta tìm vector riêng của $A$ ứng trị riêng $\lambda =4$.

Giả sử, $x=\left[\begin{array}{c}x_1 \\x_2 \end{array}
\right]$ là vectơ riêng của $A$ ứng trị riêng $\lambda $ thì $x$ là nghiệm không tầm thường của hệ $$\left\{ \begin{array}{c}
(10-\lambda )x_1-9x_2=0 \\
4x_1+\left(-2-\lambda \right)x_2=0 \end{array}
\right..$$ Với $\lambda =4$ ta có hệ $\left\{ \begin{array}{c}6x_1-9x_2=0 \\4x_1-6x_2=0 \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{c}x_1=\frac{3}{2}x_2 \\x_2\in \mathbb{R}\end{array}\right.$

Vậy, vector riêng của $A$ ứng trị riêng $\lambda =4$ là: $$x=\left[ \begin{array}{c}x_1 \\x_2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\frac{3}{2}x}_2 \\x_2 \end{array}\right]=t\left[ \begin{array}{c}3 \\2 \end{array}\right],\ \ 0\neq \ t\in \mathbb{R}.$$

Ví dụ 3. Hãy tìm trị riêng và vector riêng của ma trận $A=\left[ \begin{array}{cc}3 & 5 \\0 & 7 \end{array}\right]$.

Hướng dẫn. Tương tự Ví dụ 2, trước hết tìm trị riêng của ma trận $A$.

Xét phương trình đặc trưng của $A$: $$\left| \begin{array}{cc}3-\lambda  & 5 \\ 0 & 7-\lambda \end{array}\right|=0 \Leftrightarrow \left(3-\lambda \right)\left(7-\lambda \right)=0\Rightarrow \lambda =3\text{ hoặc }\lambda =7.$$ Vậy $A$ có 2 trị riêng ${\lambda }_1=3;\ {\lambda }_2=7$.

Tiếp theo, ta tìm vector riêng của $A$ ứng trị riêng $\lambda$.

Giả sử,  $x=\left[ \begin{array}{c}x_1 \\x_2 \end{array}\right]$ là vector riêng của $A$ ứng với trị riêng $\lambda$ thì $x$ là nghiệm không tầm thường của hệ $$\left\{ \begin{array}{c}
\left(3-\lambda \right)x_1+5x_2=0 \\0x_1+\left(7-\lambda\right)x_2=0 \end{array}\right..$$ Với ${\lambda }_1=3$ ta có hệ $\left\{ \begin{array}{c}0x_1+5x_2=0 \\0x_1+4x_2=0 \end{array}\right. \Rightarrow \begin{cases}x_1\in\mathbb{R}\\x_2=0 \end{cases}$. 

Vậy vector riêng của $A$ ứng với trị riêng ${\lambda}_1=3$ là $$\ x=\left[ \begin{array}{c}x_1 \\x_2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x_1 \\0 \end{array}\right]=t\left[ \begin{array}{c}1 \\0 \end{array}\right],\\ 0\neq \ t\in \mathbb{R}.$$

Tương tự, ta có vector riêng của $A$ ứng trị riêng $\ {\lambda }_2=7$ là: $$x=\left[ \begin{array}{c}x_1 \\x_2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\frac{5}{4}x}_2 \\x_2\end{array}\right]=s\left[ \begin{array}{c}5 \\4 \end{array}\right],\ \ 0\neq \ s\in \mathbb{R}.$$ 

Định nghĩa. Giả sử $A$ là ma trận vuông cấp $n$, nếu tồn tại ma trận khả đảo $P$ sao cho $P^{-1}AP$ là ma trận đường chéo, thì ta nói $A$ chéo hóa được và $P$ là ma trận làm chéo hóa $A$.

Chú ý. $A$ chéo hóa được khi và chỉ khi $A$ có $n$ trị riêng khác nhau.

Ví dụ 4. Ma trận $A=\left[\begin{array}{cc} {3} & {5} \\ {0} & {7} \end{array}\right]$ chéo hóa được.

Hướng dẫn. Vì $A$ có 2 trị riêng thực khác nhau $\lambda _{1} =3,\lambda _{2} =7$.

Định lý. $A$ chéo hóa được khi và chỉ khi $A$ có $n$ vector riêng độc lập tuyến tính.

Ví dụ 5.  Ma trận $A=\left[\begin{array}{cc} {3} & {5} \\ {0} & {7} \end{array}\right]$ chéo hóa được.

Hướng dẫn.  Ngoài cách giải thích ở Ví dụ 4, ta có thể giải thích: vì $A$ có đủ 2 vector riêng độc lập tuyến tính, chẳng hạn $\left\{\left[\begin{array}{c} {1} \\ {0} \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} {5} \\ {4} \end{array}\right]\right\}$ (dễ thấy, $\left|\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {5} & {4} \end{array}\right|=4\ne 0$ nên họ 2 vector này độc lập tuyến tính)

Còn ma trận $A=\left[\begin{array}{cc} {10} & {-9} \\ {4} & {-2} \end{array}\right]$ không chéo hóa được vì không đủ 2 vector riêng độc lập tuyến tính.

Cách tìm ma trận $P$ làm chéo hóa $A$

- Tìm $n$ vector riêng độc lập tuyến tính $p{}_{1} ,p{}_{2} ,...,p{}_{n} $.

- Lập ma trận $P$ với các cột là các vector riêng vừa tìm được.

- Ma trận $P^{-1}AP$ là ma trận đường chéo có các phần tử chéo, trong đó là trị riêng của $A$ ứng với vector riêng $p_{i} $.

Ví dụ 6.  Ma trận $A=\left[\begin{array}{cc} {3} & {5} \\ {0} & {7} \end{array}\right]$ trong các ví dụ trên, có $p_{1} =\left[\begin{array}{c} {1} \\ {0} \end{array}\right],p_{2} =\left[\begin{array}{c} {5} \\ {4} \end{array}\right]$  là 2 vector độc lập tuyến tính.

 Vậy, $A$ chéo hóa được và ma trận làm chéo hóa $A$ là: $P=\left[\begin{array}{cc} {1} & {5} \\ {0} & {4} \end{array}\right]$ hoặc $P=\left[\begin{array}{cc} {5} & {1} \\ {4} & {0} \end{array}\right]$.

Nếu $P=\left[\begin{array}{cc} {1} & {5} \\ {0} & {4} \end{array}\right]$ thì ma trận $P^{-1} AP=\left[\begin{array}{cc} {3} & {0} \\ {0} & {7} \end{array}\right]$, còn nếu $P=\left[\begin{array}{cc} {5} & {1} \\ {4} & {0} \end{array}\right]$ thì ma trận $P^{-1} AP=\left[\begin{array}{cc} {7} & {0} \\ {0} & {3} \end{array}\right]$.