|
Định nghĩa. Cho hai không gian vector $V$ và $W$ trên trường số thực $\mathbb{R}$. $f:V\to W$ là ánh xạ tuyến tính.
Chú ý: $\text{Im}\left(f\right)=f\left(V\right)\subset W$. Nếu $f$ là toàn ánh thì $\text{Im}\left(f\right)=f\left(V\right)=W$. |
|
Môn: Đại số tuyến tính
4.4. Hạt nhân, ảnh của ánh xạ tuyến tính
Ví dụ
Ví dụ 1: Cho hai không gian vector $V$ và $W$ trên trường số thực $\mathbb{R}$. Khi đó, ánh xạ $f:V\to W$ xác định bởi $f\left(v\right)=\theta \in W,\forall v\in V$ là ánh xạ không có $\text{Ker}\left(f\right)=V$ và $\text{Im}\left(f\right)=\left\{\theta \right\}$.
Ví dụ 2: Cho $V$ là không gian vector trên trường số thực $\mathbb{R}$. Khi đó, ánh xạ $f:V\to V$ xác định bởi $f\left(v\right)=v, \forall v\in V$ là toán tử tuyến tính trong $V$ có $\text{Ker}\left(f\right)=\left\{\theta \right\}$ và $\text{Im}\left(f\right)=V$.
Ví dụ 3
Cho ánh xạ tuyến tính $ f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2$ xác định bởi: $f\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left({2x}_1-x_2+3x_3,-{2x}_2+x_3\right)$. Tìm hạt nhân và ảnh của $f$.
Để tìm hạt nhân, ta tìm nghiệm của phương trình $f\left(x_1,x_2,x_3\right)=\theta $. $$\Leftrightarrow \left({2x}_1-x_2+3x_3,-{2x}_2+x_3\right)=\left(0,0\right)$$ $$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} {2x}_1-x_2+3x_3=0 \\ -{2x}_2+x_3=0 \end{array} \right.\Longrightarrow \left\{ \begin{array}{c}x_1=-\dfrac{5}{2}x_2 \\ x_2\in \mathbb{R} \\ x_3=2x_2 \end{array}\right..$$ Vậy $\text{Ker}\left(f\right)=\left\{\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(-5t,2t,4t\right),t\in \mathbb{R}\right\}$.
Tương tự ta tìm được tập ảnh của $f$.
Với $\left(y_1,y_2\right)\in \mathbb{R}^2$, $f\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(y_1,y_2\right)$ $$\Leftrightarrow \left({2x}_1-x_2+3x_3,-{2x}_2+x_3\right)=\left(y_1,y_2\right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} {2x}_1-x_2+3x_3=y_1 \\ -{2x}_2+x_3=y_2 \end{array}\right..$$ Dễ thấy, hệ trên luôn có nghiệm $\forall \left(y_1,y_2\right)\in \ \mathbb{R}^2$.
Vậy, $\text{Im}\left(f\right)=\mathbb{R}^2$.
Định lí
Cho hai không gian vector $V$ và $W$ trên trường số thực $\mathbb{R}$. Ánh xạ $f:V\to W$ là ánh xạ tuyến tính. Khi đó:
- $\text{Ker}\left(f\right)$ là không gian con của $V$.
- $\text{Im}\left(f\right)$ là không gian con của $W$.
Hạng của ánh xạ tuyến tính
Định nghĩa: Cho hai không gian vector $V$ và $W$ trên trường số thực $\mathbb{R}$ và $f:V\to W$ là ánh xạ tuyến tính. Khi đó, số chiều của $\text{Im}\left(f\right)$ được gọi là hạng của ánh xạ $f$, kí hiệu là $\text{rank}\left(f\right)$.
Như vậy, $\dim\left(\text{Im}\left(f\right)\right)=\text{rank}\left(f\right)$.
Ví dụ
Ví dụ 4: Tìm hạng của ánh xạ tuyến tính $f:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2$ xác định bởi: $$f\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left({2x}_1-x_2+3x_3,-{2x}_2+x_3\right).$$
Hướng dẫn: Theo kết quả Ví dụ 7, $\text{Im}\left(f\right)={\mathbb{R}}^2$ nên $\text{rank}\left(f\right)=2$
Ví dụ 5: Tìm hạng của ánh xạ tuyến tính $f:V\to W$ xác định bởi $f\left(v\right)=\theta,\forall v\in V$.
Hướng dẫn: Theo kết quả Ví dụ 5, $\text{Im}\left(f\right)=\left\{\theta \right\}$ $\Longrightarrow \text{rank}\left(f\right)=0$.
Định lí 1
Cho $V$ là không gian vector $n$ chiều và $f:V\to W$ là ánh xạ tuyến tính. Khi đó, $\dim\left(\text{Im}\left(f\right)\right)+\dim\left(\text{Ker}\left(f\right)\right)=n$.
Nghĩa là, $\text{rank}\left(f\right)+\dim\left(\text{Ker}\left(f\right)\right)=n$.
Ví dụ 6
Tìm số chiều của hạt nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính $f:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2$ xác định bởi: $f\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left({2x}_1-x_2+3x_3,-{2x}_2+x_3\right)$.
Ta chỉ cần tìm tập ảnh (như đã trình bày ở Ví dụ 3)
Với $\left(y_1,y_2\right)\in {\mathbb{R}}^2$, $f\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(y_1,y_2\right)$ $$\Leftrightarrow \left({2x}_1-x_2+3x_3,-{2x}_2+x_3\right)=\left(y_1,y_2\right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
{2x}_1-x_2+3x_3=y_1 \\
-{2x}_2+x_3=y_2 \end{array}
\right..$$ Dễ thấy, hệ trên luôn có nghiệm $\forall \left(y_1,y_2\right)\in {\mathbb{R}}^2$.
Vậy, $\text{Im}\left(f\right)={\mathbb{R}}^2 \Rightarrow \dim\left(\text{Im}\left(f\right)\right)=2$. Theo Định lý 1, $\dim\left(\text{Im}\left(f\right)\right)+\dim\left(\text{Ker}\left(f\right)\right)=3\Rightarrow \dim\left(\text{Ker}\left(f\right)\right)=1$.
Định lí 2
Nếu $A\in {\mathcal{M}}_{m\times n}$ thì số chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất $Ax=\theta $ là $n-r(A)$ .
