Chuẩn đầu ra bài học

-Trình bày các khái niệm về: giá trị riêng, véc tơ riêng, đa thức đặc trưng, ma trận đồng dạng.

- Biết và trình bày lại quy trình chéo hóa ma trận.

- Tính toán thuần thục các bài toán: tìm giá trị riêng, véctơ riêng (tối đa ma trận cấp 3).

- Tìm được ma trận đồng dạng, ma trận chéo (tối đa cấp 3).

- Tính lũy thừa bậc cao cho ma trận (tối đa cấp 3).

Giới thiệu

Trong nhiều bài toán, khi cho ánh xạ tuyến tính thì có một vấn đề quan trọng là xác định được những số $\lambda$ (giá trị riêng) sao cho $T(x) = \lambda x$, ($x$ là vector riêng của $T$) tức là $T(x)$ tỉ lệ với $x$. Các giá trị riêng, vector riêng của ánh xạ tuyến tính được tìm thông qua tìm trị riêng, vector riêng của ma trận ánh xạ tuyến tính đối với một cơ sở bất kỳ trong không gian $V$. Bài học này sẽ trang bị cho các đồng chí những kiến thức cơ bản về trị riêng và vector riêng của ma trận vuông và toán tử tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều.

Một số ứng dụng của giá trị riêng, vector riêng:

Trong cơ học, các vectơ riêng của tenxơ mô men quán tính xác định các trục chính của một vật rắn, tenxơ mô men quán tính là một đại lượng quan trọng để xác định sự quay của một vật rắn quanh khối tâm của nó.
Các bài toán giá trị riêng thường gặp trong lĩnh vực phân tích rung động của các cấu trúc cơ học với nhiều bậc tự do. Các giá trị riêng chính là các tần số tự nhiên (hay tần số riêng) của rung động, còn các vectơ riêng $\vec{x}$ biểu diễn hình dạng của các mốt rung động.
Trong cơ học lượng tử và đặc biệt là trong vật lý nguyên tử và phân tử, theo lý thuyết Hartree-Fock, các orbital của nguyên tử hay phân tử có thể được định nghĩa là các vectơ riêng của toán tử Fock. Các giá trị riêng tương ứng được hiểu là các thế ion hóa qua định lý Koopmans. Trong trường hợp này, thuật ngữ vectơ riêng được sử dụng với một ý nghĩa khá chung hơn, vì toán tử Fock phụ thuộc tường minh vào các orbital và các giá trị riêng của chúng.
Trong cơ học chất rắn tenxơ ứng suất là đối xứng và vì thế có thể được phân tích thành một tenxơ đường chéo với các giá trị riêng nằm trên đường chéo và các vectơ riêng là một cơ sở.

Trong bài học này chúng ta học 2 nội dung chính sau: