4.3. Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Định nghĩa

Cho $V$ là không gian vector $n$ chiều, $W$ là không gian vector $m$ chiều, $B=\{u_1,u_2,\cdots,u_n\}$ là một cơ sở của $V$, $B'=\{v_1,v_2,\cdots,v_m\}$ là một cơ sở của $W$ và $f:V\to W$ xác định bởi $x\mapsto f\left(x\right)$ là ánh xạ tuyến tính.

Vì $x\in V$ và $f(x)\in W$ nên theo tính chất của KGVT thì $x$ luôn biểu thị tuyến tính được qua cơ sở $B$ trong $V$ và $f(x)$ luôn biểu thị tuyến tính được qua cơ sở $B'$ trong $W$.

Giả sử, $x=x_1u_1+x_2u_2+\cdots+x_nu_n$ và $f(x)\mathrm{=}{y_1v}_1\mathrm{+\ }{y_2v}_2\mathrm{+\dots +}{y_mv}_m$

Ta có, ${\left[x\right]}_B=\left[ \begin{array}{c}
x_1 \\
\vdots \\
x_n \end{array}
\right]$ và ${\left[f(x)\right]}_{B'}=\left[ \begin{array}{c}
y_1 \\
\vdots \\
y_m \end{array}
\right]$.

Nếu tồn tại ma trận $A\in {\mathcal{M}}_{m\times n}$ sao cho ${A\left[x\right]}_B={\left[f(x)\right]}_{B'}$ với mọi $x\in V$ thì $A$ được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính $f$ đối với cơ sở $B$ trong $V$ và $B'$ trong $\ W$.

Cách tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính

Biểu diễn $f\left(u_j\right),\ j=\overline{1,n}$ theo cơ sở $B'$.

Giả sử, $f\left(u_j\right)=t_{1j}v_1+t_{2j}v_2+\cdots +t_{mj}v_m.$$$A=\big[{\left[f\left(u_1\right)\right]}_{B'}\ \ {\left[f\left(u_2\right)\right]}_{B'}\ \cdots {\left[f\left(u_n\right)\right]}_{B'}\big]=\left[ \begin{array}{ccc}
t_{11} & \cdots & t_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
t_{m1} & \cdots & t_{mn} \end{array}
\right].$$

Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính

Trường hợp riêng

Cho ánh xạ tuyến tính $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$, $B\mathrm{\ =}\mathrm{\{}e_1\mathrm{,\ }e_2\mathrm{,\dots ,\ }e_n\}$ là cơ sở chính tắc của ${\mathbb{R}}^n$ và $B'\mathrm{\ =}\mathrm{\{}{e'}_1\mathrm{,\ }{e'}_2\mathrm{,\dots ,\ }{e'}_m\}$ là cơ sở chính tắc của $\mathbb{R}^m$.

Khi đó, ma trận của ánh xạ tuyến tính $f$ đối với cơ sở $B$ trong $\mathbb{R}^n$ và $B'$ trong $\mathbb{R}^m$ là $A=\left[f\left(e_1\right)\ \ f\left(e_2\right)\ \cdots f\left(e_n\right)\ \right]$ và được gọi là ma trận chính tắc của ánh xạ $f$.

Ví dụ 1

Tìm ma trận chính tắc của ánh xạ tuyến tính $f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2$ xác định bởi: $f\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left({2x}_1-x_2+3x_3,-{2x}_2+x_3\right)$.

Chỉ cần đưa ra cơ sở chính tắc trong $\mathbb{R}^3$ và tìm $f\left(e_j\right),\ j=1,2,3$.$$B\mathrm{\ =}\mathrm{\{}e_1\left(\mathrm{1,0,0}\right)\mathrm{,\ }e_2\left(\mathrm{0,1,0}\right)\mathrm{,\ }e_3\left(\mathrm{0,0,1}\right)\}.$$$$f\left(e_1\right)=\left(2,0\right);\quad f\left(e_2\right)=\left(-1,-2\right);\quad f\left(e_3\right)=\left(3,1\right).$$

Vậy, ma trận chính tắc của $f$ là $\left[ \begin{array}{ccc}2 &-1 & 3 \\0 & -2 & 1 \end{array}\right]$.

Ví dụ 2

Tìm ma trận chính tắc của ánh xạ tuyến tính $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ xác định bởi: $f\left(x_1,x_2\right)=\left(x_1-x_2,5x_1-{2x}_2\right)$.

Cơ sở chính tắc trong $\mathbb{R}^2$ là $B=e_1\left(\mathrm{1,0}\right) ,e_2\left(\mathrm{0,1}\right)\}$

Tiếp theo, tìm $f\left(e_j\right),\ j=1,2$ $$f\left(e_1\right)=\left(1,5\right);\quad f\left(e_2\right)=\left(-1,-2\right).$$ Vậy, ma trận chính tắc của $f$ là $\left[ \begin{array}{cc}1 & -1\\5 & -2 \end{array}\right]$.

Nếu $f:V\to V$ là toán tử tuyến tính trong $V$ thì ta thường chọn $B'\equiv B$.

Ta có, ma trận của $f$ là $A=\Big[{\left[f\left(u_1\right)\right]}_B\ \ {\left[f\left(u_2\right)\right]}_B\ \cdots {\left[f\left(u_n\right)\right]}_B\ \Big]$ và gọi là ma trận của toán tử tuyến tính đối với cơ sở $B$.

Ví dụ 3

Tìm ma trận của toán tử tuyến tính $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ xác định bởi: $f\left(x_1,x_2\right)=\left(x_1-x_2,5x_1-{2x}_2\right)$ đối với cơ sở $B=\{u_1(1,1)\mathrm{,\ }u_2\mathrm{(0,2)}\mathrm{\}}$.

Tìm $f\left(u_j\right),\ j=1,2$.$$f\left(u_1\right)=\left(0,3\right);\quad f\left(u_2\right)=\left(-2,-4\right).$$

Tiếp theo, ta biểu diễn các $f\left(u_j\right)$ trong cơ sở $B$.

Giả sử, $f\left(u_1\right)={c_1u}_1\mathrm{+\ }{c_2u}_2$, ta có $(c_1,c_1+2c_2)=\left(0,3\right)$ $$\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
c_1=0 \\
c_1+2c_2=3 \end{array}
\right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
c_1=0 \\
c_2=\frac{3}{2} \end{array}
\right. \Rightarrow {\left[f\left(u_1\right)\right]}_B=\left[ \begin{array}{c}
0 \\
\dfrac{3}{2} \end{array}
\right].$$ Tương tự, ta có ${\left[f\left(u_2\right)\right]}_B=\left[\begin{array}{c}-2 \\
-1 \end{array}\right]$.

Vậy, ma trận của toán tử tuyến tính đối với cơ sở $B$ là $\left[ \begin{array}{cc}0 & -2 \\\dfrac{3}{2} & -1 \end{array}\right]$.

Ma trận của ánh xạ tuyến tính thông qua phép đổi cơ sở

Định lí: $f:V\to V$ là toán tử tuyến tính trong không gian $n$ chiều $V$, $B$ và $B'$ là các cơ sở của $V$, $A$ là ma trận của toán tử tuyến tính đối với cơ sở $B$ và $A'$ là ma trận của toán tử tuyến tính đối với cơ sở $B'$. Khi đó, $A'=P^{-1}AP$ với $P$ là ma trận chuyển cơ sở từ $B$ sang $B'$.

Ví dụ 4

Cho toán tử tuyến tính $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ xác định bởi: $f\left(x_1,x_2\right)=\left(x_1-x_2,5x_1-{2x}_2\right)$ tìm ma trận chính tắc của $f$ sau đó biến nó thành ma trận của $f$ đối với cơ sở $B'=\{u_1(1,1)\mathrm{,\ }u_2\mathrm{(0,2)}\mathrm{\}}$.

Theo Ví dụ 2, ma trận chính tắc của $f$ là $A=\left[ \begin{array}{cc}1 & -1 \\5 & -2 \end{array}\right]$.

Tiếp theo, ta tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở chính tắc $B$ sang $B'$.$${\left[u_1\right]}_B=\left[ \begin{array}{c}1 \\1 \end{array}\right]\text{ và }{\left[u_2\right]}_B=\left[ \begin{array}{c}0 \\2\end{array}\right] \Longrightarrow P=\left[ \begin{array}{cc}1& 0 \\1 & 2 \end{array}\right]\Longrightarrow P^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\-\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right].$$Vậy, ma trận của $f$ đối với cơ sở $B'$ là: $A'=P^{-1}AP=\left[ \begin{array}{cc}1 & 0 \\-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\5 & -2\end{array}\right]\left[ \begin{array}{cc}1 & 0 \\1 & 2\end{array}\right]=\left[ \begin{array}{cc}0 & -2\\ \frac{3}{2} &-1 \end{array}\right]$ (trùng với kết quả Ví dụ 3).