3.2. Hệ Cramer

Định nghĩa

Xét hệ vuông $$\left\{\begin{array}{ccccccccc} {a_{11} x_{1} } & {+} & {a_{12} x_{2} } & {+} & {\cdots } & {+} & {a_{1n} x_{n} } & {=} & {b_{1} } \\ {a_{21} x_{1} } & {+} & {a_{22} x_{2} } & {+} & {\cdots } & {+} & {a_{2n} x_{n} } & {=} & {b_{2} } \\ {\vdots } & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {\vdots } \\ {a_{n1} x_{1} } & {+} & {a_{n2} x_{2} } & {+} & {\cdots } & {+} & {a_{nn} x_{n} } & {=} & {b_{n} } \end{array}\right.\label{3.2.2}\tag{2}$$

Ta có, ma trận liên kết, ma trận các ẩn và ma trận vế phải của hệ \eqref{3.2.2} là:$A=\left[\begin{array}{cccc} {a_{11} } & {a_{12} } & {\cdots } & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & {\cdots } & {a_{2n} } \\ {\vdots } & {\vdots } & {\ddots } & {\vdots } \\ {a_{n1} } & {a_{n2} } & {\cdots } & {a_{nn} } \end{array}\right]$, $x=\left[\begin{array}{c} {x_{1} } \\ {x_{2} } \\ {\vdots } \\ {x_{n} } \end{array}\right]$, $b=\left[\begin{array}{c} {b_{1} } \\ {b_{2} } \\ {\vdots } \\ {b_{n} } \end{array}\right]$.

Ta vẫn có, $Ax=b$ (A là ma trận vuông cấp n).

Hệ vuông\eqref{3.2.2} được gọi là hệ Cramer nếu $\det \left(A\right)\ne 0$.

Ví dụ 5

Hệ $\left\{\begin{array}{ccccc} {40x} & {+} & {60y} & {=} & {560} \\ {4x} & {-} & {3y} & {=} & {2} \end{array}\right.$ là hệ vuông có $\det (A)=-360\ne 0$ nên là hệ Cramer.

Hệ $\left\{\begin{array}{ccccc} {x} & {-} & {2y} & {=} & {0} \\ {-2x} & {+} & {4y} & {=} & {2} \end{array}\right.$ là hệ vuông có $\det (A)=0$ nên không là hệ Cramer.

Hệ $\left\{\begin{array}{ccccccccc} {x_{1} } & {} & {} & {-} & {x_{3} } & {} & {} & {=} & {0} \\ {4x_{1} } & {} & {} & {} & {} & {-} & {2x_{4} } & {=} & {0} \\ {} & {} & {2x_{2} } & {-} & {2x_{3} } & {-} & {x_{4} } & {=} & {0} \end{array}\right. $ là hệ không vuông nên không là hệ Cramer.

Định lí Cramer

Hệ Cramer có nghiệm duy nhất, được tính bởi công thức $x=A^{-1} .b$. Hay $x_{j} =\dfrac{\det (A_{j})}{\det (A)} $ ($A_j$ được suy từ A bằng cách thay cột thứ j bởi cột vế phải).

Ví dụ 6

Giải hệ $\left\{\begin{array}{ccccc} {40x} & {+} & {60y} & {=} & {560} \\ {4x} & {-} & {3y} & {=} & {2} \end{array}\right. $.

Tìm $\det \left(A\right)$ để khẳng định hệ đã cho là hệ Cramer.

Có thể trình bày bằng 2 cách.

Cách 1. Tìm $A^{-1} $ rồi lấy nhân với cột vế phải $b$.

Ta có, $\det (A)=-360\ne 0$ nên hệ đã cho là hệ Cramer.

Áp dụng phương pháp tìm ma trận nghịch đảo, ta dễ dàng tìm được $A^{-1} =\left[\begin{array}{cc} {\frac{1}{120} } & {\frac{1}{6} } \\ {\frac{1}{90} } & {-\frac{1}{9} } \end{array}\right]$.

Ta có, ${\rm \; }b=\left[\begin{array}{c} {560} \\ {2} \end{array}\right]$. $$\Rightarrow \left[\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} {\frac{1}{120} } & {\frac{1}{6} } \\ {\frac{1}{90} } & {-\frac{1}{9} } \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} {560} \\ {2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} {5} \\ {6} \end{array}\right]\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {x=5} \\ {y=6} \end{array}\right. .$$ Vậy, hệ có nghiệm duy nhất $\left\{\begin{array}{l} {x=5} \\ {y=6} \end{array}\right. $ hay (5,6).

Cách 2: Tìm tất cả các x_j theo công thức $x_{j} =\dfrac{\det (A_{j} )}{\det (A)} $ rồi kết luận nghiệm của hệ.

Ta có, $A=\left[\begin{array}{cc} {40} & {60} \\ {4} & {-3} \end{array}\right];{\rm \; }A_{1} =\left[\begin{array}{cc} {560} & {60} \\ {2} & {-3} \end{array}\right];{\rm \; }A_{2} =\left[\begin{array}{cc} {40} & {560} \\ {4} & {2} \end{array}\right]$.

$\det (A)=-360\ne 0$. Hệ đã cho là hệ Cramer. $$\det (A_{1} )=-1800;{\rm \; }\det (A_{2} )=-2160.$$$$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {x=\frac{\det (A_{1} )}{\det (A)} =\frac{-1800}{-360} =5} \\ {y=\dfrac{\det (A_{2} )}{\det (A)} =\dfrac{-2160}{-360} =6} \end{array}\right..$$ Vậy, hệ có nghiệm duy nhất $(5,6)$.

Ví dụ 7

Giải hệ $\left\{\begin{array}{ccccc} {90t} & {-} & {2x} & {=} & {-45} \\ {60t} & {-} & {x} & {=} & {45} \end{array}\right. $.

Giải tương tự Ví dụ 6, ta có: \begin{align}&A=\left[\begin{array}{cc} {90} & {-2} \\ {60} & {-1} \end{array}\right];{\rm \; }A_{1} =\left[\begin{array}{cc} {-45} & {-2} \\ {45} & {-1} \end{array}\right];{\rm \; }A_{2} =\left[\begin{array}{cc} {90} & {-45} \\ {60} & {45} \end{array}\right]\\&\det (A)=30\ne 0;{\rm \; }\det (A_{1} )=135;{\rm \; }\det (A_{2} )=6750;\\&\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {t=\frac{\det (A_{1} )}{\det (A)} =\frac{135}{30} =4,5} \\ {x=\dfrac{\det (A_{2} )}{\det (A)} =\dfrac{6750}{30} =225} \end{array}\right..\end{align} Vậy, hệ có nghiệm duy nhất $(4,5;225)$.

Ví dụ 8

Giải hệ $\left\{\begin{array}{ccccccc} {30x_{1} } & {+} & {30x_{2} } & {+} & {50x_{3} } & {=} & {570} \\ {35x_{1} } & {+} & {40x_{2} } & {+} & {30x_{3} } & {=} & {515} \\ {25x_{1} } & {+} & {40x_{2} } & {+} & {45x_{3} } & {=} & {555} \end{array}\right. $.

Giải tương tự các ví dụ trên, ta có: \begin{align}&\det (A)=\left|\begin{array}{ccc} {30} & {30} & {50} \\ {35} & {40} & {30} \\ {25} & {40} & {45} \end{array}\right|=13250\ne 0;\qquad \det (A_{1} )=\left|\begin{array}{ccc} {570} & {30} & {50} \\ {515} & {40} & {30} \\ {555} & {40} & {45} \end{array}\right|=66250\\&\det (A_{2} )=\left|\begin{array}{ccc} {30} & {570} & {50} \\ {35} & {515} & {30} \\ {25} & {555} & {45} \end{array}\right|=53000;\qquad \det (A_{3})=\left|\begin{array}{ccc} {30} & {30} & {570} \\ {35} & {40} & {515} \\ {25} & {40} & {555} \end{array}\right|=79500\\&x_{1} =\dfrac{\det (A_{1} )}{\det (A)} =5;\quad x_{2} =\dfrac{\det (A_{2})}{\det (A)} =4;\quad x_{3} =\dfrac{\det (A_{3} )}{\det (A)} =6\end{align} Vậy, hệ có nghiệm $(5;4;6)$.

Chú ý

Có những hệ không vuông (số phương trình ít hơn số ẩn) nhưng vẫn có thể đưa về hệ Cramer. Bằng cách, chuyển một số ẩn sang vế phải (xem là ẩn phụ) để có hệ vuông, tuy nhiên cần lưu ý khi chọn ẩn phụ để sao cho hệ mới phải là hệ Cramer (định thức của ma trận liên kết luôn khác không).

Ví dụ 9

Giải hệ $\left\{\begin{array}{ccccccc} {x_{1} } & {+} & {x_{2} } & {+} & {x_{3} } & {=} & {6} \\ {2x_{1} } & {+} & {2x_{2} } & {-} & {x_{3} } & {=} & {3} \end{array}\right. $.

Trước hết, ta chuyển 1 ẩn sang vế phải. Ta có thể chuyển $x_{1} $ hoặc $x_{2}$ chứ không được chuyển $x_{3} $ .

Nếu chuyển $x_{2} $ sang vế phải (làm ẩn phụ) ta có hệ tương đương như sau: $\left\{\begin{array}{ccccccc} {x_{1} } & {+} & {x_{3} } & {=} & {-x_{2} } & {+} & {6} \\ {2x_{1} } & {-} & {x_{3} } & {=} & {-2x_{2} } & {+} & {3} \end{array}\right. $

Có $A=\left[\begin{array}{cc} {1} & {1} \\ {2} & {-1} \end{array}\right];{\rm \; }A_{1} =\left[\begin{array}{cc} {-x_{2} +6} & {1} \\ {-2x_{2} +3} & {-1} \end{array}\right];{\rm \; }A_{3} =\left[\begin{array}{cc} {1} & {-x_{2} +6} \\ {2} & {-2x_{2} +3} \end{array}\right]$. Và $$\det (A)=-3\ne 0;{\rm \; }\det (A_{1} )=3x_{2} -9;{\rm \; }\det (A_{2} )=-9;$$ Vậy $\left\{\begin{array}{l} {x_{1} =\dfrac{\det (A_{1} )}{\det (A)} =\dfrac{3x_{2} -9}{-3} =-x_{2} +3} \\ {x_{2} \in \mathbb{R}} \\ {x_{3} =\dfrac{\det (A_{3} )}{\det (A)} =\dfrac{-9}{-3} =3} \end{array}\right. $.